关于“饭店下水管道油堵死什么部门负责”的问题，我们可以从以下几个方面来分析责任归属：

1. 餐饮店自行负责：

   • 如果堵塞发生在饭店内部的专有下水管道部分，且是由于饭店在日常经营中未做好油脂处理、倾倒食物残渣等导致的，那么饭店作为使用和管理方，应自行承担清理和维修的责任。

2. 物业公司负责：

   • 若堵塞发生在物业管理的共用下水管道部分，且物业服务合同中有明确约定物业公司负责此类设施的维护和管理，那么物业公司应承担起维修和清理的责任。这基于《物业管理条例》第三十五条的规定，物业服务企业需按照合同约定提供服务，否则需承担法律责任。

3. 业主或第三方负责：

   • 在没有物业服务或者堵塞是由特定业主或第三方过错（如相邻商铺违规排放）造成的情况下，应由相应的责任方承担责任。这依据的是《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条，即行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。

综上所述，饭店下水管道油堵死的责任归属需根据堵塞发生的具体位置、原因以及相关的合同约定来判断。如果是饭店内部专有部分的堵塞且由饭店自身原因造成，由饭店负责；如果是共用部分的堵塞且物业公司有责任维护，则由物业公司负责；如果是由特定业主或第三方过错造成，则由相应责任方承担。建议您先与相关方进行沟通协商，明确责任后再进行相应处理。如有进一步法律问题，可直接向我咨询。