结论前置：法定节假日没休且后期不调休，在一般情况下是不合法的。但如果用人单位按照法律规定支付了加班费，或者在特殊行业有特殊规定且经过了劳动行政部门的批准，那么法定节假日工作可以不视为违法行为。
详细分析：
一般情况下的违法性：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第四十条，用人单位在法定节假日期间应当依法安排劳动者休假。这是劳动者的基本休息权益，用人单位有义务遵守。
- 如果用人单位未在这些节日安排休假，且未提供任何形式的经济补偿（如加班费），则违反了上述法律规定，劳动者有权向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
支付加班费后的合法性：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第四十四条第三项，若用人单位因生产经营需要在法定节假日安排劳动者工作，需支付不低于工资的百分之三百的工资报酬作为加班费。
- 在这种情况下，即使法定节假日没有休息，但由于用人单位已经按照法律规定支付了加班费，所以该行为变得合法。
特殊行业的特殊情况：
- 对于某些特殊行业，如交通、能源、通信等，由于其岗位特殊性，可能无法在法定节假日休息。
- 在这些情况下，如果经过了劳动行政部门的特别批准，并且确保了劳动者的其他合法权益不受损害，那么法定节假日工作可以不支付加班费用，但仍需遵守相关法律法规的其他规定。
法律建议：
- 劳动者应了解自己的权益，确保在法定节假日得到应有的休息或经济补偿。
- 如果用人单位违反了相关法律法规，劳动者可以通过与用人单位协商、向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁等方式来维护自己的合法权益。
- 用人单位也应尊重劳动者的休息权，合理安排工作与休息时间，以构建和谐的劳动关系。
综上所述，法定节假日没休且后期不调休是否合法，主要取决于用人单位是否遵循了相关法律法规，特别是是否给予了劳动者应有的经济补偿或是否符合特殊行业的规定。如果有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。