私生子的抚养费应由不直接抚养孩子的一方承担。具体来说：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第1071条规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。

2. 抚养费支付主体：

   • 不直接抚养孩子的生父或生母需为未成年或不能独立生活的成年子女支付抚养费。这意味着，如果私生子随其中一方生活，另一方就需要支付抚养费。

3. 抚养费数额与支付方式：

   • 抚养费数额要结合孩子的实际需求、父母的负担能力和当地的生活水平来确定。
   • 有固定收入的一方，抚养费一般可按其月总收入的20%-30%的比例给付；无固定收入的一方，可依据当年总收入或同行业平均收入，参照上述比例确定。
   • 抚养费的支付方式可以是一次性支付，也可以定期给付，具体由双方协商或法院判决确定。

4. 协商与诉讼：

   • 如果双方就抚养费问题能够协商一致，那么按照协商的结果来履行。
   • 如果协商不成，可以直接向法院提起诉讼，由法院根据子女的实际需要、父母双方的负担能力和当地的实际生活水平来判决确定抚养费数额。

综上所述，私生子的抚养费应由不直接抚养孩子的一方承担，具体数额和支付方式需根据孩子的实际需求、父母的负担能力和当地的生活水平来确定。如果双方无法协商一致，可以通过法律途径解决争议。