私自抱养的弃婴，如果被发现且不符合收养条件，确实存在被送到福利院的可能性。下面我来详细解释一下这个问题：

1. 法律对收养的规定：根据我国的收养法，收养孩子需要满足一定的条件，并经过合法的收养程序。这些条件包括收养人的资格、被收养人的情况，以及收养的目的和方式等。如果私自抱养弃婴，没有履行合法的收养程序，那么这种行为是不受法律保护的。

2. 弃婴的保护措施：一旦发现私自抱养的弃婴，相关部门会介入调查。他们会评估收养人的收养条件、收养环境以及是否能提供给孩子良好的成长环境。如果收养人不符合收养条件，或者无法提供适当的照顾，那么孩子很可能会被送到福利院，以确保其得到妥善的安置和照顾。

3. 收养人的法律责任：私自抱养弃婴还可能涉及法律责任。如果收养人没有履行合法的收养程序，或者对孩子造成了伤害，那么他们可能会面临法律制裁。

因此，我强烈建议，如果你有意收养孩子，一定要通过合法的途径进行，并咨询专业的法律机构或律师，以确保你的收养行为符合法律规定，并保护你和孩子的合法权益。如果你有任何关于收养的法律问题，都可以直接向我咨询。