当公司部门解散导致员工被辞退时，赔偿问题确实是一个需要细致处理的重要环节。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，我们可以从合法解除和违法解除两种情形来详细分析赔偿问题。
一、合法解除情形下的经济补偿
适用条件：
- 当劳动合同订立时所依据的客观情况（如部门解散）发生重大变化，导致劳动合同无法继续履行，且用人单位与劳动者经过协商，未能就变更劳动合同内容达成一致时，用人单位有权提前三十日以书面形式通知劳动者本人，或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。
补偿标准：
- 经济补偿的计算依据是劳动者在本单位的工作年限。每满一年，支付一个月工资作为经济补偿；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资的定义是劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者的月工资高于当地上年度职工月平均工资的三倍，那么经济补偿的标准将按照职工月平均工资的三倍来支付，且最高支付年限不超过十二年。
举例说明：
- 假设员工A在公司工作了4年，其劳动合同解除前十二个月的平均工资为6000元。那么，公司应支付的经济补偿为4个月工资，即24000元。若公司未提前三十日书面通知员工A，则还需额外支付一个月工资6000元，总计30000元。
二、违法解除情形下的赔偿
适用条件：
- 如果公司在辞退员工时，未遵循法定程序，如未与员工协商变更劳动合同、未提前三十日书面通知或未额外支付一个月工资等，那么这种解除劳动合同的行为将被视为违法。
赔偿标准：
- 根据《劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位若违法解除或终止劳动合同，应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
举例说明：
- 继续沿用员工A的例子，若公司违法解除了与A的劳动合同，那么公司应支付的赔偿金为经济补偿标准的二倍，即48000元。若公司未提前三十日书面通知，原本需额外支付的一个月工资6000元仍需支付，总计54000元。
三、其他权益保障
- 工资结算：在解除劳动合同时，公司应一次性付清员工的所有工资。
- 社保和公积金：公司需按规定办理员工的社保和公积金减员手续，确保员工的这些权益不受影响。员工在失业期间，若符合条件，还可申请领取失业保险金。
四、建议与总结
对于公司而言，在处理部门解散导致的员工辞退问题时，应严格遵守相关法律法规，确保合法合规地解决赔偿问题。同时，建议公司在签订劳动合同时，就明确约定相关赔偿条款，以减少后续可能出现的纠纷。
对于员工而言，了解自己的权益和相关的法律法规同样重要。在面临部门解散和辞退时，员工应积极与公司沟通，了解自己的赔偿情况，并在必要时寻求法律援助，以维护自己的合法权益。
综上所述，公司部门解散辞退员工的赔偿问题需综合考虑多种因素，并严格遵循相关法律法规的规定进行妥善处理。