结论：老人与子女断绝关系，子女是否还有继承权，这主要取决于断绝关系的法律性质以及是否符合法定丧失继承权的情形。一般情况下，单纯的“断绝关系”声明并不直接导致子女丧失继承权，除非存在法律规定的丧失继承权的情形。

详细分析：

1. 法律上的“断绝关系”与继承权：

   • 在法律上，血缘关系（如父母与子女之间的关系）是不能通过简单的声明或协议来断绝的。这种关系是基于出生而自然形成的，具有法律上的强制性和不可改变性。
   • 因此，即使老人与子女之间声称“断绝关系”，这种声明在法律上并不具有直接断绝血缘关系的效力。子女仍然作为老人的法定继承人之一，享有继承权。

2. 丧失继承权的法定情形：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承人有下列行为之一的，丧失继承权：
     • 故意杀害被继承人；
     • 为争夺遗产而杀害其他继承人；
     • 遗弃被继承人，或者虐待被继承人情节严重；
     • 伪造、篡改、隐匿或者销毁遗嘱，情节严重；
     • 以欺诈、胁迫手段迫使或者妨碍被继承人设立、变更或者撤回遗嘱，情节严重。
   • 如果子女存在上述行为之一，那么他们将丧失对老人遗产的继承权。但单纯的“断绝关系”声明并不属于上述任何一种情形。

3. 实际案例与法律实践：

   • 在实际法律实践中，法院在处理继承纠纷时，会综合考虑各种因素，包括继承人与被继承人之间的关系、继承人的行为表现等。
   • 如果老人与子女之间确实存在严重的矛盾或冲突，但这并不足以构成子女丧失继承权的理由。除非子女有上述法定丧失继承权的行为，否则他们仍然有权继承老人的遗产。

4. 建议与注意事项：

   • 对于老人与子女之间的继承纠纷，建议首先通过协商或调解的方式解决。这有助于维护家庭关系的和谐与稳定，避免不必要的法律纠纷。
   • 如果协商或调解无果，可以考虑通过法律途径解决。但在此之前，建议咨询专业律师的意见，了解相关法律规定和诉讼程序，以便更好地维护自己的合法权益。

总结与进一步思考：

• 老人与子女之间的“断绝关系”声明在法律上并不具有直接断绝血缘关系和继承权的效力。子女是否丧失继承权，主要取决于他们是否存在法律规定的丧失继承权的情形。
• 在处理继承纠纷时，应综合考虑各种因素，包括继承人与被继承人之间的关系、继承人的行为表现等。建议通过协商或调解的方式解决纠纷，以维护家庭关系的和谐与稳定。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。