结论：在买二手车后发现变速箱坏了且未签合同的情况下，您仍然有可能要求赔偿，但具体能否成功以及赔偿的金额和方式，会受到多种因素的影响。
分析说明：
合同关系与口头约定：
- 即便没有书面合同，如果买卖双方之间存在口头约定，并且该约定中包含了车辆的质量保证或瑕疵担保条款，那么卖方仍然需要承担相应的责任。
- 在实际操作中，口头约定的证明难度较大，需要您提供其他证据来支持，如聊天记录、录音、证人证言等。
卖方的欺诈或隐瞒：
- 如果卖方在出售车辆时故意隐瞒了变速箱存在问题的真实情况，或者通过虚假陈述诱导您购买，那么这可能构成欺诈。
- 在欺诈的情况下，您不仅有权要求赔偿，还有权要求撤销合同或要求卖方承担其他法律责任。
车辆的质量保证期：
- 即便没有书面合同，如果卖方在出售时承诺了车辆的质量保证期，并且在该期限内变速箱出现问题，那么卖方仍然需要承担维修或更换的责任。
- 质量保证期的具体长度和范围可能因卖方而异，需要您根据实际情况进行判断和证明。
消费者权益保护：
- 作为消费者，您在购买二手车时也享有一定的权益保护。如果卖方存在违法行为或侵犯了您的合法权益，您可以向相关部门投诉或寻求法律援助。
行动建议：
收集证据：
- 尽快收集与车辆购买相关的所有证据，包括聊天记录、转账记录、车辆照片、维修记录等。
- 如果可能的话，找到当时的证人或获取其他相关证据来支持您的主张。
与卖方协商：
- 在收集到足够证据后，尝试与卖方进行协商，看是否能够达成赔偿协议。
- 协商时保持冷静和理性，明确表达您的诉求和依据。
寻求法律援助：
- 如果协商无果或卖方拒绝承担责任，您可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师（比如我）的意见。
- 律师可以根据您的具体情况和证据，为您提供更具体的法律建议和诉讼策略。
后续思考：
- 在未来的二手车交易中，建议您尽量签订书面合同，并明确约定车辆的质量保证、瑕疵担保、违约责任等条款，以降低交易风险。
- 如果遇到类似问题，及时咨询专业律师（比如我）的意见，以便更好地维护自己的合法权益。