针对您提出的“买二手车没签合同没开发票一个月坏了能否索赔”的问题，以下是我的详细解答：
首先，虽然您在购买二手车时没有签订合同和开具发票，但这并不意味着您无法维护自己的权益。从法律角度来看，即使没有书面的合同，只要双方存在事实上的买卖关系，且买方已经支付了购车款，卖方也交付了车辆，那么双方之间就形成了买卖合同关系。这一点在您提供的参考案例中也得到了体现，法院最终认定了原告与被告之间的事实买卖合同关系。
接下来，关于您能否索赔的问题，这主要取决于车辆出现问题的原因以及卖方在销售过程中是否存在过错。如果车辆在购买后一个月内出现故障，且该故障并非由于您使用不当或自然损耗导致，而是由于车辆本身存在质量问题或卖方在销售时未如实告知车辆状况，那么您有权要求卖方承担相应的责任。
然而，由于您没有签订合同和开具发票，这可能会给您的维权带来一定的困难。合同是证明双方权利义务关系的重要依据，而发票则是证明交易真实性和购车款支付情况的关键证据。在没有这些证据的情况下，您可能需要通过其他方式来证明买卖关系的存在以及车辆出现问题的原因。
为了更有效地维护自己的权益，我建议您采取以下措施：
收集证据：尽可能收集与购车相关的所有证据，包括聊天记录、转账记录、车辆照片、维修记录等。这些证据将有助于证明买卖关系的存在以及车辆出现问题的具体情况。
与卖方协商：尝试与卖方进行沟通，说明车辆出现的问题以及您的诉求。如果卖方愿意承担责任并进行赔偿或维修，那么问题可能得到妥善解决。
寻求第三方帮助：如果与卖方协商无果，您可以考虑寻求消费者协会、市场监管部门或法律援助机构的帮助。他们可以提供专业的咨询和调解服务，帮助您维护自己的权益。
提起诉讼：如果其他途径都无法解决问题，您还可以考虑向法院提起诉讼。虽然这可能需要一定的时间和精力，但如果您有足够的证据支持自己的诉求，那么法院可能会判决卖方承担相应的责任。
最后，我想强调的是，在购买二手车时，签订合同和开具发票是非常重要的。它们不仅可以保护您的权益，还可以在出现问题时提供有力的证据支持。因此，在未来的购车过程中，请务必注意这些细节。