当申请执行人在执行过程中遇到被执行人死亡的情况时，执行程序并不会因此自动终结，而是会根据被执行人的遗产状况及继承人情况，依法进行相应处理。以下是对此情况的详细分析和处理建议：
一、执行程序的中止与启动
中止执行程序：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当被执行人死亡时，执行程序应中止，等待继承人表明是否参加诉讼或接受继承。
- 法院在得知被执行人死亡后，会立即中止执行程序，并通知相关当事人，包括申请执行人。
确认死亡事实与启动程序：
- 若被执行人的死亡事实尚未确认，申请执行人应向法院提出申请，并附上死亡证明等相关材料。
- 法院确认死亡事实后，将正式启动后续处理程序。
二、查明遗产状况
遗产范围：
- 包括动产（如银行存款、车辆等）、不动产（如房屋、土地等）以及其他具有财产价值的权利（如股权、债权等）。
查明方法：
- 法院会通过调查被执行人的银行账户、房产登记、车辆登记等相关信息来确定遗产范围。
- 申请执行人也应积极提供相关线索，协助法院查明遗产情况。
三、变更或追加被执行人
申请主体与追加主体：
- 申请执行人可以向法院申请变更或追加被执行人。
- 根据相关司法解释，可以追加的被执行人包括遗产管理人、继承人、受遗赠人或其他因被执行人死亡取得遗产的主体。
申请材料与审查：
- 申请执行人需提交书面申请及相关证据材料，证明被追加人的身份信息、被执行人的遗产情况及继承情况等。
- 法院将对申请进行审查，符合条件的，将裁定变更或追加被执行人。
特殊情况处理：
- 若全部继承人放弃继承或受遗赠人放弃遗赠，且无遗嘱执行人，由被继承人生前住所地的民政部门或村民委员会担任遗产管理人，并将其变更为被执行人。
四、继承人的选择与责任
选择继承：
- 若继承人明确表示继承遗产，则需在继承范围内承担偿还被执行人债务的责任。
- 法院可裁定变更被执行人为继承人，在遗产范围内承担债务。
放弃继承：
- 若继承人放弃继承，法院将直接执行被执行人的遗产以清偿债务，无需变更被执行人。
五、执行遗产与终结执行程序
执行遗产：
- 当被执行人死亡后留有遗产，且无人继承或继承人放弃继承权时，法院将执行该遗产以清偿债务。
- 执行过程中，法院将遵循相关法律规定，确保执行程序的合法性和公正性。
终结执行程序：
- 若被执行人死亡，无遗产可供执行，又无义务承担人，法院将裁定终结执行程序。
- 但若日后发现新的财产线索，申请人可向法院申请恢复执行。
六、总结与建议
当申请执行人在执行过程中遇到被执行人死亡的情况时，应积极配合法院的工作，提供必要的协助和信息。同时，建议申请执行人及时咨询专业律师，以获取准确的法律建议和帮助，确保自己的合法权益得到最大程度的维护。在整个执行过程中，法院将依法采取相应措施，确保执行程序的合法性和公正性。