当申请执行人死亡时，其执行程序并不会自动终结，而是需要遵循一系列法定步骤和程序来确保权利继受人能够继续申请执行。以下是关于申请执行人死亡后相关条件的详细解答：
一、确定死亡事实及通知相关方
首先，必须提供充分的证据来证明申请执行人已经死亡，这通常包括医学死亡证明、火化证明或户口注销证明等官方文件。一旦确认申请执行人死亡，应立即通知被执行人和法院，同时，如果申请执行人有继承人或受遗赠人，也应及时告知他们这一情况。
二、确定权利继受人
继承人资格：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关规定，申请执行人的继承人可以继承其在执行程序中的权利。这包括法定继承人和遗嘱继承人。
- 法定继承人通常涵盖配偶、子女、父母等近亲属，而遗嘱继承人则根据遗嘱的指定来确定。
提交证明材料：
- 继承人需向执行法院提交必要的证明材料，以证实其身份和继承权。这些材料包括但不限于死亡证明、亲属关系证明（如户口簿、公安机关出具的证明等）、遗嘱（如有）等。
法院审查与裁定：
- 法院将仔细审查继承人提交的材料，确认其身份和继承权后，会依法裁定变更申请执行主体。这一裁定是后续执行程序的基础。
三、执行程序的中止与恢复
中止执行：
- 在确定权利继受人之前，为避免对合法继承人的权益造成损害，执行法院通常会裁定中止执行程序。这是依据《民事诉讼法》的相关规定执行的。
恢复执行：
- 一旦权利继受人确定并经法院认可，执行程序将得以恢复。新的申请执行人可以沿用原申请执行人已采取的执行措施，也可以根据实际情况提出新的执行请求。
四、特殊情况处理
多个继承人：
- 若存在多个继承人，他们应共同作为新的申请执行人参与执行程序，并需协商一致行使权利或按法律规定的继承份额分配执行所得。如有争议，应先通过协商、调解解决；协商不成时，可通过诉讼程序解决。
无继承人或放弃权利：
- 若申请执行人死亡后无继承人，或继承人明确表示放弃继承权利，法院将依法裁定终结执行程序。因为此时已无适格的权利主体来主张执行权利。
五、法律保障与后续行动
- 法律依据：整个过程中，应严格遵循《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，确保程序的合法性和正当性。
- 强制措施：若被执行人拒不遵守法院作出的变更或承继执行裁定，新的申请执行人或继承人可依法申请法院采取强制措施，如查询、冻结、划拨被执行人的财产等，以保障其合法权益。
综上所述，申请执行人死亡后，其权利继受人可以通过遵循上述法律流程和提交必要材料来继续申请执行。这一过程虽涉及多个环节，但只要严格按照法律规定操作，即可有效维护自身的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，建议咨询专业律师或法律机构。