面对没签劳动合同且口头辞退员工被仲裁的情况，作为用人单位，应当从以下几个方面来妥善处理：
一、明确法律后果与责任
未签劳动合同的法律后果：
- 根据《劳动合同法》，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，从用工的第二个月起，至多需要支付11个月的双倍工资。
口头辞退的法律效力：
- 口头辞退若无法证明其合法性（如缺乏正当理由或未遵循法定程序），则可能构成违法解除劳动关系。在此情况下，用人单位需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
二、积极应对仲裁程序
核实仲裁请求及证据：
- 仔细审查员工的仲裁请求及其提供的证据，评估其合理性与合法性，以便有针对性地准备答辩材料。
梳理事实与理由：
- 清晰梳理未签劳动合同及口头辞退的具体事实与理由，分析未签合同的原因（如员工拒绝签订等），并准备相应证据以减轻或免除责任。
积极协商和解：
- 在仲裁程序开始前或进行中，尝试与员工进行协商，寻求和解的可能性，以减少双方的不必要损失。
准备应诉材料：
- 收集并整理所有能证明双方存在事实劳动关系及具体用工情况的证据，如考勤记录、工资支付凭证、工作成果记录、同事证言等。同时，准备答辩状，详细阐述用人单位的观点和事实依据。
三、庭审中的应对策略
清晰陈述事实：
- 在庭审中，保持冷静，清晰、合理地陈述未签劳动合同及口头辞退的具体事实，以及用人单位的立场和理由。
有效运用证据：
- 适时出示并解释用人单位所掌握的证据，以证明双方的实际劳动关系及用人单位的合法性。
合理主张权利：
- 根据法律规定，合理主张用人单位的权利，如未签劳动合同的双倍工资差额的支付期限、赔偿金的计算标准等。
四、后续处理与预防
执行仲裁裁决：
- 如仲裁裁决对用人单位不利，需依法执行裁决结果，并及时支付相关款项。
完善劳动管理制度：
- 此次事件后，应完善劳动管理制度，确保所有员工均签订书面劳动合同，并严格遵守劳动法律法规，避免类似纠纷的再次发生。
加强员工沟通与培训：
- 加强与员工的沟通，及时了解并解决员工的诉求和问题。同时，定期对员工进行劳动法律法规的培训，提高员工的法律意识。
综上所述，面对没签劳动合同且口头辞退员工被仲裁的情况，用人单位应明确法律后果与责任，积极应对仲裁程序，合理运用法律武器维护自身权益，并加强后续处理与预防措施，以避免类似纠纷的再次发生。