针对政府欠薪问题，最快且有效的处理部门及途径如下：

1. 向当地劳动监察部门投诉

   • 法律依据：根据《劳动保障监察条例》的相关规定，劳动监察部门负责监督用人单位遵守劳动保障法律、法规的情况，包括工资支付情况。政府作为用人单位，同样需遵守这些规定。
   • 处理流程：您可以向当地劳动监察部门提交书面投诉材料，详细陈述欠薪事实、欠薪金额及欠薪时间等。劳动监察部门在收到投诉后，会依法进行调查，并在规定时间内给出处理结果。
   • 优势：劳动监察部门具有行政执法权，能够直接对政府欠薪行为进行调查和处理，效率相对较高。

2. 申请劳动仲裁

   • 适用情况：如果劳动监察部门处理后，政府仍未支付欠薪，或者您对劳动监察部门的处理结果不满意，可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
   • 法律依据：根据《劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动仲裁委员会负责处理劳动争议案件，包括因工资支付引起的争议。
   • 处理流程：您需要向劳动仲裁委员会提交仲裁申请书及相关证据材料。劳动仲裁委员会在受理申请后，会组织双方进行仲裁调解或开庭审理，并依法作出裁决。
   • 优势：劳动仲裁具有法律强制力，裁决结果具有终局性，如果政府不履行裁决，您可以向法院申请强制执行。

3. 向法院提起诉讼

   • 适用情况：在劳动仲裁裁决后，如果政府仍不履行支付欠薪的义务，或者您对仲裁结果不满意且符合起诉条件，可以向法院提起诉讼。
   • 法律依据：根据《民事诉讼法》的相关规定，公民、法人或其他组织认为自己的合法权益受到侵害时，有权向法院提起诉讼。
   • 处理流程：您需要向法院提交起诉状及相关证据材料。法院在受理案件后，会组织双方进行庭审，并依法作出判决。
   • 优势：法院判决具有最高的法律效力，如果政府不履行判决，您可以申请强制执行，确保欠薪得到支付。

建议与注意事项：

• 在处理政府欠薪问题时，建议您保留好相关证据材料，如工资条、劳动合同、欠薪证明等，以便在投诉、仲裁或诉讼过程中证明自己的权益。
• 考虑到政府欠薪问题的特殊性，您可以在处理过程中寻求法律援助或咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到充分保障。
• 在处理过程中，保持与相关部门的沟通联系，及时了解处理进展和结果，以便采取进一步的行动。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。