核心结论：劳动合同续签三次后，并非必须签订无固定期限合同，但劳动者在满足一定条件下有权提出签订无固定期限劳动合同。
详细分析：
法律依据与条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条第二款的规定，当劳动者与用人单位连续订立二次固定期限劳动合同，并且劳动者不存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形时，劳动者在续订劳动合同时有权提出签订无固定期限劳动合同。这些情形包括但不限于劳动者严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作且经培训或调整岗位后仍不能胜任等。
- 具体来说，如果劳动者在第三次续签劳动合同时，已经连续与用人单位签订了两次固定期限劳动合同，且没有上述法定解除或终止合同的情形，同时劳动者也未主动提出订立固定期限劳动合同的要求，那么用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。
特殊情况下的签订：
- 除了上述条件外，还有两种特殊情况下劳动者也有权提出签订无固定期限劳动合同：一是劳动者在同一用人单位连续工作满十年的；二是在用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的。
协商原则与用人单位的选择权：
- 尽管法律规定了签订无固定期限劳动合同的条件，但双方仍可在协商一致的基础上选择签订固定期限劳动合同。如果劳动者在续签时明确提出要订立固定期限劳动合同，或者双方协商一致约定了具体的合同期限，那么也可以签订固定期限劳动合同。
- 同时，用人单位在第二次固定期限劳动合同期满时，如果劳动者存在法定解除或终止合同的情形，用人单位有权选择不续签劳动合同，并且通常无需支付经济补偿金（除非因医疗期满不能从事原工作和另行安排的工作而不续签，此时需支付补偿）。
法律责任：
- 如果用人单位在符合上述条件的情况下拒绝与劳动者签订无固定期限劳动合同，可能面临支付双倍工资等法律责任。因此，用人单位在续签劳动合同时应谨慎考虑，确保合同的签订既符合法律规定，又符合双方的利益和需求。
实际应用建议：
- 对于劳动者而言，在续签劳动合同时应充分了解自己的权益和法律规定，如果满足签订无固定期限劳动合同的条件，可以主动提出签订无固定期限劳动合同的要求，以保障自己的职业稳定性和权益。
- 对于用人单位而言，在续签劳动合同时应遵守相关法律法规，尊重劳动者的意愿和选择，避免因为违反法律规定而面临法律责任。同时，用人单位也可以根据自身的实际情况和劳动者的表现，与劳动者协商签订固定期限或无固定期限劳动合同。
总之，劳动合同续签三次后并非必须签订无固定期限合同，但劳动者在满足一定条件下有权提出签订无固定期限劳动合同。双方应充分了解相关法律法规，并在协商一致的基础上确定合同期限和类型。如有任何疑问或需要帮助，可以直接向我咨询。