运输公司司机发生事故且被认定为全责时，处理方式需结合事故责任、公司管理责任及保险理赔等多方面综合考量，具体处理步骤如下：

1. 司机个人责任承担
   司机作为直接侵权人，需对事故造成的第三方人身伤害或财产损失承担民事赔偿责任。若事故中存在故意或重大过失（如酒驾、超速、违规操作等），司机可能面临：

   • 民事赔偿：需赔偿受害方医疗费、误工费、车辆维修费等实际损失，若构成伤残还需支付残疾赔偿金、护理费等；
     
   • 行政处罚：根据《道路交通安全法》，可能面临罚款、暂扣或吊销驾驶证等处罚；
     
   • 刑事责任：若事故造成严重后果（如死亡或重大财产损失），可能构成交通肇事罪，需承担刑事责任。

2. 运输公司的连带责任
   根据《民法典》第1191条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。因此：

   • 公司需先行赔偿：若司机是在执行运输任务时发生事故，公司需对受害方承担赔偿责任，后续可向司机追偿（若司机存在故意或重大过失）；
     
   • 公司管理责任：若公司未尽到安全培训、车辆维护等管理义务（如未定期检查刹车、轮胎等），可能被认定存在过错，需承担相应比例的赔偿责任；
     
   • 劳动合同约定：若公司与司机签订的劳动合同中明确约定事故责任分担条款（如司机承担部分赔偿），公司可依据合同向司机追偿，但该条款需符合法律规定且司机知情同意。

3. 保险理赔流程

   • 交强险优先赔付：公司车辆需投保交强险，由保险公司在限额内（如死亡伤残18万、医疗费1.8万、财产损失2000元）先行赔偿；
     
   • 商业险补充赔付：若购买商业三者险，超出交强险部分由商业险按合同约定赔付；
     
   • 免赔情形：若司机存在酒驾、逃逸等免责事由，保险公司可能拒赔，此时需由公司或司机自行承担赔偿。

4. 内部处理建议

   • 事故调查：公司应立即调查事故原因，固定证据（如行车记录仪、监控录像），明确司机责任程度；
     
   • 协商赔偿：优先与受害方协商赔偿方案，避免诉讼成本；若协商不成，可通过诉讼解决；
     
   • 追偿权行使：若公司先行赔偿且司机存在过错，可依据《民法典》第1191条向司机追偿，但需保留相关证据（如赔偿凭证、事故认定书等）；
     
   • 完善管理：加强司机安全培训、车辆维护检查，降低未来事故风险。

总结：司机全责时，需根据事故性质（民事/行政/刑事）、公司管理责任及保险情况综合处理。公司应优先履行赔偿义务，再通过内部追偿或法律途径向司机主张权利，同时完善管理以规避风险。如有具体案件细节，可进一步向我咨询。