结论：公司以违反规章制度为由开除员工且不给赔偿的行为，并不一定合法，是否合法需根据具体情况判断。以下从多个角度进行分析：

一、公司规章制度的合法性

1. 规章制度需合法制定：

   • 根据《劳动合同法》第四条，用人单位在制定、修改或者决定有关劳动报酬、工作时间、休息休假、劳动安全卫生、保险福利、职工培训、劳动纪律以及劳动定额管理等直接涉及劳动者切身利益的规章制度或者重大事项时，应当经职工代表大会或者全体职工讨论，提出方案和意见，与工会或者职工代表平等协商确定。
   • 规章制度还应当公示或者告知劳动者。如果公司规章制度未经过上述合法程序制定或未公示告知员工，那么该规章制度对员工不具有约束力，公司以此为由开除员工可能构成违法解除。

2. 规章制度内容需合法：

   • 规章制度的内容不得违反法律、行政法规的规定，也不得违反公序良俗。如果规章制度中的某些条款本身违法，那么这些条款无效，公司不能依据这些无效条款开除员工。

二、员工是否确实违反规章制度

1. 事实依据需充分：

   • 公司需要提供充分的证据证明员工确实违反了规章制度。如果公司无法提供充分证据，或者证据存在瑕疵，那么公司以此为由开除员工可能构成违法解除。

2. 违反程度需严重：

   • 即使员工确实违反了规章制度，但如果违反程度较轻，且未对公司造成重大损失或影响，公司直接开除员工也可能构成过度处罚，从而构成违法解除。

三、公司开除员工的程序合法性

1. 通知工会程序：

   • 根据《劳动合同法》第四十三条，用人单位单方解除劳动合同，应当事先将理由通知工会。用人单位违反法律、行政法规规定或者劳动合同约定的，工会有权要求用人单位纠正。用人单位应当研究工会的意见，并将处理结果书面通知工会。如果公司未履行通知工会程序，可能构成违法解除。

2. 解除劳动合同通知：

   • 公司需要向员工发出书面的解除劳动合同通知，并明确解除的理由和依据。如果公司未发出书面通知或通知内容不明确，也可能构成违法解除。

四、赔偿问题

1. 违法解除的赔偿：

   • 如果公司违法解除劳动合同，根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿标准按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

2. 合法解除的赔偿：

   • 如果公司合法解除劳动合同（如员工严重违反规章制度且公司程序合法），则公司无需支付赔偿金，但可能需要支付经济补偿金（如员工无过错且公司提出解除等特定情况）。然而，在大多数因员工违反规章制度而合法解除的情况下，公司通常无需支付经济补偿金。

建议：

• 如果你认为公司开除你的行为违法，你可以先与公司协商要求支付赔偿金或恢复劳动关系。
• 如果协商无果，你可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。
• 在申请劳动仲裁前，建议你收集好相关证据（如劳动合同、规章制度、开除通知、工资单等），以便在仲裁过程中证明自己的主张。

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