核心结论：父亲死亡、母亲坐牢的情况下，孩子可以申请的补助主要包括孤儿基本生活保障、事实无人抚养儿童基本生活补贴、最低生活保障（低保）、临时救助等，具体需结合当地政策及家庭实际情况确定。以下分情况详细说明：
1. 孤儿基本生活保障
- 适用条件：若孩子符合《民法典》中“孤儿”的定义（即父母双亡或一方死亡、另一方被宣告失踪/死亡），可向户籍所在地民政部门申请孤儿基本生活保障。
- 补助内容：通常包括每月固定金额的生活费（各地标准不同，如部分地区为每月1000-2000元），直至孩子年满18周岁（部分地区延长至完成学业）。
- 申请流程：需提交父母死亡证明、户口本、监护人身份证明等材料，由民政部门审核后发放。
2. 事实无人抚养儿童基本生活补贴
- 适用条件：若母亲因服刑无法履行监护职责，且父亲已死亡，孩子可能被认定为“事实无人抚养儿童”（即父母双方均符合重残、重病、服刑在押等情形，导致实际无人抚养）。
- 补助内容：与孤儿保障类似，但标准可能略低（如每月800-1500元），同样发放至年满18周岁。
- 申请流程：需提交母亲服刑证明、父亲死亡证明、家庭经济状况说明等材料，由民政部门认定后发放。
3. 最低生活保障（低保）
- 适用条件：若孩子家庭经济困难（如无其他收入来源），可单独或与监护人共同申请低保。
- 补助内容：根据当地低保标准发放差额补助（如家庭月收入低于低保线，补足至低保线）。
- 申请流程：向户籍地乡镇/街道提出申请，提交收入证明、财产状况等材料，经审核公示后发放。
4. 临时救助
- 适用条件：若孩子因突发困难（如疾病、意外）需要紧急救助，可申请临时救助。
- 补助内容：一次性发放救助金（如几千元至数万元），或提供实物救助（如衣物、食品）。
- 申请流程：向户籍地民政部门提出申请，说明困难情况，经审核后发放。
5. 其他可能的补助
- 教育补助：部分地区对孤儿或事实无人抚养儿童提供教育补贴（如学费减免、助学金）。
- 医疗救助：符合条件的儿童可申请医疗救助，减免部分医疗费用。
- 残疾儿童补助：若孩子本身有残疾，可同时申请残疾人两项补贴（生活补贴+护理补贴）。
注意事项
- 地区差异：各地补助标准、申请条件可能不同，需以当地政策为准。
- 监护人问题：若孩子无其他亲属监护，可能由民政部门或儿童福利机构抚养，并享受相应保障。
- 材料准备：申请时需提供父母死亡/服刑证明、户口本、收入证明等材料，建议提前咨询当地民政部门。
建议：尽快联系户籍地乡镇/街道或民政部门，详细了解当地政策并提交申请。如有疑问，可进一步向我咨询具体流程或材料要求。