结论：第三方是否有权利开除员工，这主要取决于员工与第三方之间是否建立了劳动关系，以及具体的合同约定和法律规定。以下从不同情况进行分析：

1. 若员工与第三方建立了劳动关系：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者建立劳动关系后，双方应签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。若第三方作为新的用人单位与员工签订了劳动合同，那么第三方就成为了员工的用人单位，享有相应的管理权，包括在符合法律规定和合同约定的情况下开除员工的权利。
   • 法律建议：在此情况下，员工应仔细阅读与第三方签订的劳动合同，了解自己的权利和义务，以及第三方开除员工的条件和程序。若第三方违反合同约定或法律规定开除员工，员工有权依法维护自己的合法权益。

2. 若员工未与第三方建立劳动关系，而是与原单位保持劳动关系：

   • 法律背景：如果员工只是被原单位安排到第三方处工作，但并未与第三方建立劳动关系，那么员工的用人单位仍然是原单位。在此情况下，第三方无权直接开除员工，因为第三方并非员工的用人单位。
   • 法律建议：员工应确认自己与原单位的劳动关系是否仍然存在，以及原单位与第三方之间的协议内容。若第三方试图非法开除员工，员工应及时向原单位反映情况，并寻求法律帮助。

3. 特殊情况：劳务派遣：

   • 法律背景：若原单位将员工派遣至第三方工作，即形成劳务派遣关系，那么员工的用人单位是原单位（派遣单位），而用工单位是第三方。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用工单位（第三方）在符合法律规定和劳务派遣协议约定的情况下，可以将劳动者退回派遣单位，但无权直接开除员工。
   • 法律建议：在劳务派遣关系中，员工应了解自己的派遣身份和相关的权利义务。若第三方试图非法退回或开除员工，员工应及时向派遣单位反映情况，并依法维护自己的权益。

进一步思考：

• 员工在面临此类情况时，应首先确认自己与哪方建立了劳动关系，以及相关的合同约定和法律规定。
• 若员工对自身的劳动关系状态或合同约定有疑问，建议及时咨询专业律师，以便更好地了解自己的权利和义务。
• 在任何情况下，员工都应保留好与劳动关系相关的证据材料，如劳动合同、工资单、工作证等，以便在需要时依法维护自己的权益。

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