针对您提出的问题，即当父母中一方或双方患有老年痴呆，且一个子女在国外，另一个子女如何申请成为监护人的情况，以下是我为您提供的详细解答：
一、了解意定监护与法定监护
首先，需要明确的是，如果您的父母在具有完全民事行为能力时，已经通过书面形式确定了意定监护人，那么在其丧失或部分丧失民事行为能力时，将由该意定监护人履行监护职责。意定监护优先于法定监护，这是体现当事人自主意愿和意思自治的法律制度。
然而，如果您的父母并未设立意定监护，或者意定监护人无法履行职责，那么就需要考虑法定监护。在法定监护的情况下，子女作为直系亲属，是具有法定监护资格的人之一。
二、申请成为法定监护人的流程
准备相关材料：
- 您与父母的身份证复印件；
- 身份关系证明（如户口本、出生证明等）；
- 其他亲属关系证明（如有需要）；
- 父母的病历证明，特别是关于老年痴呆的诊断证明，以证明他们已丧失或部分丧失民事行为能力。
向相关部门申请：
- 您可以先尝试与父母住所地的居民委员会、村民委员会或民政部门联系，说明情况并申请指定您为监护人。这些部门会尊重被监护人的真实意愿，并按照最有利于被监护人的原则进行指定。
- 如果对居民委员会、村民委员会或民政部门的指定不服，或者这些部门未能在合理时间内作出指定，您可以直接向父母户籍所在地或经常居住地的人民法院申请指定监护人。
法院审理与判决：
- 法院将审理您的申请，并可能要求您提供更多证据或进行听证。
- 法院将尊重被监护人的真实意愿，并综合考虑各种因素，如您的经济能力、与被监护人的关系、被监护人的生活状况等，来作出是否指定您为监护人的判决。
三、注意事项
尊重被监护人的意愿：
- 在整个申请过程中，应尽可能尊重您父母的真实意愿。如果他们能够表达自己的意愿，那么他们的选择应被优先考虑。
考虑其他亲属的意见：
- 如果您的父母有其他子女或亲属，且他们对监护人的选择有不同意见，那么您应尽可能与他们协商，寻求共识。如果协商无果，法院将在审理时综合考虑各方意见。
履行监护职责：
- 一旦被指定为监护人，您将需要履行监护职责，包括照顾被监护人的生活、管理他们的财产、代表他们进行民事活动等。您应尽职尽责，确保被监护人的权益得到充分保障。
四、特殊情况处理
如果您的父母已经设立了意定监护人，但该监护人无法履行职责或侵犯了您父母的合法权益，您可以向相关部门或法院申请撤销该监护人的资格，并申请指定自己或其他合适的人为新的监护人。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您在申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时咨询专业的法律机构或律师。