精神病人被刑事处罚后能否保留公职，需综合考虑其刑事责任能力、判刑情况以及具体工作单位和行业规定，在大多数情况下，若符合相关情形，其公职通常会被开除，但也存在特殊情形。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据与一般情况

根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》第十四条的规定，公职人员犯罪，有下列情形之一的，予以开除：

1. 因故意犯罪被判处管制、拘役或者有期徒刑以上刑罚（含宣告缓刑）的；
2. 因过失犯罪被判处有期徒刑，刑期超过三年的；
3. 因犯罪被单处或者并处剥夺政治权利的。

同时，该条款还规定，因过失犯罪被判处管制、拘役或者三年以下有期徒刑的，一般应当予以开除；案件情况特殊，予以撤职更为适当的，可以不予开除，但是应当报请上一级机关批准。公职人员因犯罪被单处罚金，或者犯罪情节轻微，人民检察院依法作出不起诉决定或者人民法院依法免予刑事处罚的，予以撤职；造成不良影响的，予以开除。

二、刑事责任能力的影响

1. 完全无刑事责任能力：

   • 若精神病人在犯罪时不能辨认或控制自己的行为，并经法定程序鉴定确认，则不负刑事责任。因此，不存在被判刑及随后开除公职的问题。此时，单位可能会根据病情和工作实际情况，采取病休或安排其他适当工作的措施。

2. 限制刑事责任能力：

   • 对于尚未完全丧失辨认或控制自己行为能力的精神病人，若犯罪则应负刑事责任，但可从轻或减轻处罚。在此情况下，若被判处的刑罚符合上述开除情形，通常会被开除公职。

3. 间歇性精神病人：

   • 间歇性的精神病人在精神正常时犯罪，应负刑事责任。一旦被依法判处的刑罚符合上述开除情形，按照相关规定，其公职通常会被开除。

三、特殊情况与工作单位差异

1. 情节特别严重时的处理：

   • 即使精神病人在不能辨认或控制自己行为时造成危害结果且不负刑事责任，若情节特别严重，也有可能面临开除公职或其他纪律处分。

2. 行政机关任命的事业单位工作人员：

   • 此类人员若被判刑且符合开除情形的，同样会被开除。

3. 具体工作单位与行业规定：

   • 不同的工作单位和行业对于精神病人犯罪后的处理办法可能有所不同。例如，某些涉及国家安全、公共安全等关键领域的单位，可能对员工的犯罪行为有更为严格的处分规定。

四、综合建议

1. 了解具体判刑情况：

   • 首先，需要了解精神病人被判处的具体刑罚类型及刑期，以判断是否符合开除公职的法定情形。

2. 评估刑事责任能力：

   • 其次，需要评估精神病人在犯罪时的刑事责任能力，以确定其是否应负刑事责任及刑罚的轻重。

3. 咨询单位或行业规定：

   • 最后，建议咨询具体工作单位或所在行业的相关规定，以了解对精神病人犯罪后的具体处理办法。

若您或您身边的人遇到此类问题，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更为精准的法律建议。