关于“上网被抓会留案底吗”的问题，结论前置如下：
单纯上网行为不构成犯罪，通常不会留案底：如果只是因为违反相关规定进入网吧上网（如未成年人进入网吧），并未涉及其他违法犯罪活动，这种行为一般只会受到行政处罚（如罚款、警告等），而不会留下犯罪记录，即“案底”。
涉及违法犯罪行为，可能会留案底：如果上网过程中涉及了其他违法犯罪活动，如网络诈骗、传播违法信息、在网吧内实施盗窃或寻衅滋事等，并且这些行为被警方查实并依法处理，那么就有可能会留下相应的犯罪记录，即“案底”。
详细分析如下：
一、单纯上网行为不构成犯罪
- 法律条款：根据《互联网上网服务营业场所管理条例》等相关规定，网吧不得接纳未成年人上网。但这只是行政法规，违反此规定并不构成犯罪。
- 法律后果：如果因违反此规定被警方抓获，通常只会受到行政处罚，如罚款、警告等。这些处罚记录虽然会被保留在相关部门的档案中，但并不等同于犯罪记录或案底。
二、涉及违法犯罪行为
- 网络诈骗：如果利用网络进行诈骗活动，数额较大或情节严重，将构成诈骗罪，面临刑事处罚，并留下犯罪记录。
- 传播违法信息：如果传播淫秽、暴力、恐怖等违法信息，情节严重，也可能构成犯罪，如传播淫秽物品罪等，并留下犯罪记录。
- 在网吧内实施其他犯罪：如在网吧内盗窃、寻衅滋事等，如果这些行为被警方查实并依法处理，同样会留下犯罪记录。
三、案底的定义与影响
- 案底定义：案底，也称“前科”，特指某人过去犯罪行为的记录。只有当个人实施了犯罪行为，并经过法院依法判决有罪后，才会留下犯罪记录，即案底。
- 案底影响：案底对个人的影响是深远的，包括但不限于就业受限（很多单位、职业明确限制有犯罪记录者入职）、出入境受限等。同时，其子女在报考军警院校、一些特殊公务员岗位的政审环节也可能受到不利影响。
四、行政处罚与犯罪记录的区别
- 行政处罚：是对于轻微违法行为的一种惩戒措施，如罚款、警告等。这些处罚记录虽然会被保留在相关部门的档案中，但并不等同于犯罪记录或案底。
- 犯罪记录：是个人实施犯罪行为并经过法院依法判决有罪后留下的记录，对个人的影响更为严重和长期。
建议与总结：
- 遵守法律法规：无论是在网吧上网还是进行其他网络活动，都应严格遵守法律法规和网络安全规定，避免涉及任何违法犯罪行为。
- 积极配合调查：如果不慎触犯法律，应积极配合警方的调查和处理，争取从轻或减轻处罚。
- 咨询专业律师：如果你或你身边的人面临这样的问题，或者对相关法律条款有疑问，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况提供准确的法律意见和帮助。
总之，上网被抓是否会留案底取决于具体行为是否构成犯罪。为了自身和家庭的幸福，请务必遵守法律法规，文明上网。