针对您提出的“盗窃案登网逃 被抓捕会留案底吗”这一问题，我的回答如下：
结论：
- 如果盗窃行为构成犯罪，并被人民法院定罪量刑，那么被抓捕后会留下案底。
- 如果盗窃行为未构成犯罪，或者虽然构成犯罪但未被人民法院定罪量刑（例如，因证据不足等原因被撤销案件或不起诉），那么通常不会留下案底。但需要注意的是，行政拘留等行政处罚记录虽然不会上网公开，但会在公安机关的纸质档案中有所记载。
详细分析：
构成犯罪并定罪量刑的情况：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，将构成盗窃罪，并可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金的刑罚。
- 如果您因盗窃行为被列为网逃，并最终被抓捕，且该行为被人民法院认定为犯罪并定罪量刑，那么您将留下案底。案底，又称犯罪人员犯罪记录制度，在我国法律中一般指有过刑事犯罪前科的档案记录，该犯罪档案一般存放至公安部门与相关国家机关。
未构成犯罪或未被定罪量刑的情况：
- 如果盗窃行为未达到刑事犯罪的标准，或者虽然构成犯罪但因证据不足等原因被撤销案件或不起诉，那么通常不会留下案底。
- 但需要注意的是，行政拘留等行政处罚记录虽然不会上网公开，但会在公安机关的纸质档案中有所记载。这种记录虽然不会对个人生活和职业发展产生直接影响，但在某些特定情况下（如申请某些职业或职位时），可能需要提供无犯罪记录证明，此时行政拘留记录可能会成为一定的障碍。
法律建议：
- 如果您因盗窃行为被列为网逃，并担心被抓捕后会留下案底，我建议您尽快与公安机关联系，了解案件进展情况，并积极配合调查。
- 同时，您也可以考虑咨询专业律师，了解您的法律权利和可能的法律后果，以便做出更明智的决策。
后续行动：
- 如果您被抓捕并面临刑事指控，我建议您立即聘请专业律师进行辩护，以维护您的合法权益。
- 在整个法律过程中，保持与律师的密切沟通，并积极配合律师的工作，以便更好地应对法律挑战。
总之，盗窃案登网逃被抓捕后是否会留下案底，取决于盗窃行为是否构成犯罪并被人民法院定罪量刑。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。