公民申请行政机关履行法定职责的主要法律依据包括《中华人民共和国行政诉讼法》和《中华人民共和国行政复议法》等相关法律法规。以下从不同角度为您详细阐述：
《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定：
- 第十二条：该条款明确列举了人民法院受理公民、法人或者其他组织提起的诉讼范围，其中包括申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责，而行政机关拒绝履行或者不予答复的情形。这意味着，如果行政机关未履行其法定职责，公民有权向人民法院提起诉讼，要求行政机关履行职责。
- 第四十七条：此条款规定了公民、法人或者其他组织在特定情况下，如申请行政机关履行保护其人身权、财产权等合法权益的法定职责，而行政机关在接到申请之日起两个月内不履行的，公民、法人或者其他组织可以向人民法院提起诉讼。同时，如果公民、法人或者其他组织因情况紧急，需要立即获得保护的，也可以在提起诉讼前向人民法院申请采取保全措施。
《中华人民共和国行政复议法》的相关规定：
- 第二条：该条款明确了公民、法人或者其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益时，可以向行政复议机关提出行政复议申请。虽然这一条款并未直接提及行政机关履行法定职责的问题，但行政复议作为一种救济途径，同样适用于公民对行政机关不履行法定职责的行为提出异议。
- 在实际操作中：如果公民认为行政机关未履行其法定职责，除了可以向人民法院提起诉讼外，还可以选择向行政复议机关提出行政复议申请。行政复议机关将对行政机关的行为进行审查，并作出相应的复议决定。
其他相关法律法规：
- 除了上述两部法律外，还有一些具体的法律法规也涉及到了公民申请行政机关履行法定职责的问题。例如，在环境保护、市场监管等领域，都有相应的法律法规规定了行政机关的职责和公民的权利。当行政机关未履行这些职责时，公民可以依据相关法律法规的规定，要求行政机关履行职责或寻求其他救济途径。
法律建议：
- 如果您认为行政机关未履行其法定职责，首先建议您与行政机关进行沟通协商，了解未履行职责的具体原因，并尝试通过协商解决问题。
- 如果沟通协商无果，您可以根据具体情况选择向人民法院提起诉讼或向行政复议机关提出行政复议申请。在选择救济途径时，请务必考虑各种途径的优缺点以及您的具体需求。
- 在整个过程中，建议您保留好相关证据材料，如申请书、回复函、沟通记录等，以便在需要时证明您的主张。
可能法律后果：
- 如果您选择向人民法院提起诉讼并胜诉，行政机关将被判决履行其法定职责，并可能承担因未履行职责而给您造成的损失赔偿责任。
- 如果您选择向行政复议机关提出行政复议申请并获得支持，行政机关将被要求履行其法定职责，并可能受到复议机关的监督或处罚。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。