申请行政机关履职的法律依据主要来源于我国现行的法律法规，具体包括以下几个方面：
《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定：
- 根据《行政诉讼法》第十二条，公民、法人或者其他组织认为行政机关不依法履行、未按照约定履行或者违法变更、解除政府特许经营协议、土地房屋征收补偿协议等协议的，有权向人民法院提起诉讼。这实际上从侧面规定了行政机关有依法履行相关协议或职责的义务，若未履行，相对人可通过法律途径寻求救济。
- 同时，《行政诉讼法》第四十七条明确规定，公民、法人或者其他组织申请行政机关履行保护其人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关在接到申请之日起两个月内不履行的，公民、法人或者其他组织可以向人民法院提起诉讼。这是直接规定行政机关履职期限及相对人救济途径的条款。
《中华人民共和国行政复议法》的相关规定：
- 根据《行政复议法》第六条，公民、法人或者其他组织认为行政机关的具体行政行为侵犯其合法权益的，可以申请行政复议。虽然该条款并未直接提及“履职”，但行政机关不履行法定职责的行为，本质上也是一种具体行政行为（或不作为的具体行政行为），因此相对人可以通过申请行政复议的方式，要求行政机关履行其法定职责。
单行法律法规中的具体规定：
- 除了上述两部基本法律外，许多单行法律法规也明确规定了行政机关的履职义务。例如，《中华人民共和国环境保护法》规定，环保部门有对环境污染行为进行查处的职责；《中华人民共和国食品安全法》规定，市场监管部门有对食品安全违法行为进行监管和处罚的职责等。这些单行法律法规为行政机关的履职提供了具体的法律依据。
从实践角度来看，申请行政机关履职通常需要注意以下几点：
- 明确履职请求：在申请行政机关履职时，应明确、具体地提出履职请求，包括要求行政机关履行何种职责、如何履行以及履行的期限等。
- 提供充分证据：为了支持自己的履职请求，申请人应提供充分的证据证明行政机关存在不履行或未完全履行法定职责的情形。
- 选择合适的救济途径：根据具体情况，申请人可以选择通过行政复议、行政诉讼等途径来要求行政机关履职。在选择救济途径时，应充分考虑各种途径的优缺点及适用条件。
若行政机关在接到申请后仍未履职，申请人可以采取以下措施：
- 继续催促：可以通过书面或口头方式继续催促行政机关履职，并保留好相关证据。
- 申请行政复议：若认为行政机关的不履职行为侵犯了自己的合法权益，可以向上一级行政机关或法定复议机构申请行政复议。
- 提起行政诉讼：若对行政复议结果不满意或行政机关在法定期限内未作出复议决定，可以向人民法院提起行政诉讼，要求法院判决行政机关履职。
综上所述，申请行政机关履职的法律依据主要来源于《行政诉讼法》、《行政复议法》以及单行法律法规中的相关规定。在实践操作中，申请人应明确履职请求、提供充分证据并选择合适的救济途径来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。