公民申请履行法定职责的前提主要包括以下几点：

1. 存在明确的法定职责：

   • 公民申请行政机关履行法定职责，首先必须确保该职责是行政机关依法应当履行的。这要求公民对相关法律法规有基本的了解，能够明确指出行政机关应当履行的具体职责。例如，在环境保护领域，如果法律法规规定环保部门有对污染企业进行处罚的职责，那么公民在发现污染企业违法行为时，就有权申请环保部门履行这一职责。

2. 公民具备申请资格：

   • 并非所有公民在所有情况下都有权申请行政机关履行法定职责。通常，申请资格与公民的合法权益受到侵害或存在受到侵害的潜在风险有关。例如，在土地征收补偿案件中，只有土地被征收的农民或相关权利人才有权申请政府履行补偿职责。

3. 已履行前置程序（如适用）：

   • 在某些情况下，公民在申请行政机关履行法定职责前，需要先履行一定的前置程序。这些前置程序可能包括向行政机关提出书面申请、提供必要的证据材料、参与听证会等。例如，在申请行政复议或行政诉讼前，公民通常需要先向相关行政机关提出书面申请，并等待其作出答复或处理决定。

4. 申请内容明确且具体：

   • 公民在申请行政机关履行法定职责时，必须明确指出希望行政机关履行的具体职责内容、事实依据和法律依据。这有助于行政机关准确理解公民的诉求，并依法作出处理决定。例如，在申请政府信息公开时，公民需要明确指出希望获取的信息名称、文号或描述其特征，以便政府能够准确查找并公开相关信息。

5. 申请方式合法且适当：

   • 公民在申请行政机关履行法定职责时，必须采用合法且适当的方式。这通常包括书面申请、口头申请（在特定情况下）或通过电子政务平台提交申请等。同时，公民还需要遵守相关的申请期限和程序要求。例如，在申请行政复议时，公民需要在知道行政行为之日起六十日内提出复议申请，并按照复议机关的要求提交相关材料。

法律背景与建议：

• 在申请行政机关履行法定职责前，公民应仔细研究相关法律法规和政策文件，确保自己的申请符合法定条件和程序要求。
• 如果公民对申请程序或要求存在疑问，可以咨询专业律师或相关行政机关的工作人员，以获取准确的指导和帮助。
• 在申请过程中，公民应保留好相关证据材料，如申请书、回复函、听证会记录等，以便在后续的法律程序中证明自己的诉求和行政机关的履职情况。

可能法律后果：

• 如果公民的申请符合法定条件和程序要求，行政机关应当依法履行职责。如果行政机关不履行或拖延履行职责，公民可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，要求行政机关承担相应的法律责任。
• 如果公民的申请不符合法定条件或程序要求，行政机关可能会拒绝履行职责或要求公民补充相关材料。在这种情况下，公民应积极配合行政机关的要求，完善申请材料或调整申请策略。