申请公安机关履行法定职责，需满足以下条件：

1. 存在明确的法定职责：

   • 公安机关的法定职责来源于法律、法规的明确规定。例如，《中华人民共和国治安管理处罚法》、《中华人民共和国刑事诉讼法》等法律中，均对公安机关的职责有具体规定。
   • 申请人需确保所申请的事项属于公安机关的法定职责范围，如维护社会治安、打击犯罪、处理治安案件等。若申请事项不属于公安机关职责，则公安机关无权处理，申请也将被驳回。

2. 申请人具备申请资格：

   • 申请人可以是直接受到违法行为侵害的公民、法人或其他组织，也可以是发现违法行为并希望公安机关介入处理的公民、法人或其他组织。
   • 在某些情况下，如涉及公共利益或重大社会影响的事件，即使申请人不是直接受害者，也可能具备申请资格，但需根据具体情况判断。

3. 有明确的申请事项和理由：

   • 申请人需明确说明申请公安机关履行何种具体职责，如调查处理某起治安案件、制止某项违法行为等。
   • 同时，申请人需提供充分的理由和证据，证明所申请事项的存在及公安机关介入的必要性。例如，提供现场照片、视频、证人证言等证据材料。

4. 遵循法定程序和期限：

   • 申请人需按照法律规定的程序和期限向公安机关提出申请。不同事项的申请程序和期限可能有所不同，申请人需仔细查阅相关法律法规，确保申请符合法定要求。
   • 例如，在申请公安机关调查处理治安案件时，申请人可能需先向当地派出所报案，并按照派出所的指示提供相关材料和信息。

5. 申请形式合法：

   • 申请人应以书面形式向公安机关提出申请，并按照要求填写申请表或提供相关材料。在特殊情况下，如紧急情况下，申请人也可以口头形式提出申请，但需尽快补交书面材料。
   • 申请材料应真实、完整、准确，不得隐瞒或歪曲事实。若申请人提供虚假材料或信息，将可能承担法律责任。

法律建议：

• 在申请公安机关履行法定职责前，申请人应仔细查阅相关法律法规，了解公安机关的职责范围、申请程序和期限等要求。
• 申请人应积极收集证据材料，证明所申请事项的存在及公安机关介入的必要性。证据材料应真实、完整、准确，并尽可能提供原件或原始载体。
• 若申请人对公安机关的处理结果不满意或认为公安机关未依法履行职责，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，维护自己的合法权益。

可能法律后果：

• 若申请人满足上述条件并依法提出申请，公安机关应依法履行职责并作出相应处理。若公安机关未依法履行职责或处理不当，申请人可以依法追究其法律责任。
• 若申请人不满足上述条件或申请形式不合法，公安机关可能不予受理或驳回申请。此时，申请人应重新审视自己的申请事项和理由，确保符合法定要求后再行申请。