结论：仅根据“按月发工资、年底年初来去自由”这两个条件，不能直接判定存在劳动关系，判定劳动关系需要综合多方面因素来考量。
劳动关系认定的核心要素
根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号）规定，用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立：
- 用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格：比如用人单位是依法成立的企业、个体经济组织等，劳动者是达到法定劳动年龄、具有劳动能力的自然人。
- 用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动：这强调了劳动者在工作过程中要接受用人单位的管理和指挥，比如遵守用人单位的考勤制度、工作安排等。如果劳动者来去自由，不受用人单位任何规章制度的约束，那么就不符合这一要素。
- 劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分：例如，劳动者在一家建筑公司工作，从事的是建筑施工相关的工作，而建筑施工就是该建筑公司的业务组成部分。
结合您描述情况的分析
- 按月发工资：虽然用人单位按月支付工资是劳动关系中常见的报酬支付方式，但仅这一点并不能确凿地证明存在劳动关系。因为一些劳务关系中，也可能存在定期支付报酬的情况。比如，某家庭雇佣保姆，约定每月支付一定金额的劳务费，这属于劳务关系，并非劳动关系。
- 年底年初来去自由：这表明劳动者在工作安排上具有较大的自主性，不受用人单位的严格管理和约束。在劳动关系中，劳动者通常需要按照用人单位的要求按时上下班、完成工作任务等，不能随意决定自己的工作时间和去留。所以，这一情况不太符合劳动关系中劳动者受用人单位管理的特征。
特殊情况说明
如果在实际工作中，除了按月发工资和来去自由外，还存在其他符合劳动关系认定要素的情况，比如劳动者虽然来去相对自由，但在工作期间需要接受用人单位的指挥和安排，完成用人单位指定的工作任务，且其工作内容是用人单位业务的组成部分，那么也有可能被认定为存在劳动关系。
建议
如果您对自己与用人单位之间是否存在劳动关系存在疑问，或者因此产生了工资福利等方面的纠纷，建议您收集相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录（如果有）、工作安排记录等，以便更准确地判断是否存在劳动关系，并维护自己的合法权益。您可以直接向我咨询劳动纠纷相关的法律问题。