自首后，犯罪嫌疑人或其家属可通过以下途径了解案件进展：

1. 通过公安机关了解
   自首后，案件首先由公安机关立案侦查。犯罪嫌疑人或其家属可向负责该案件的公安机关（如派出所、分局或经侦、刑侦等部门）询问案件进展。公安机关在侦查阶段会依法开展调查取证工作，并可能对犯罪嫌疑人采取刑事强制措施（如拘留、取保候审等）。家属可通过联系办案民警或前往公安机关接待窗口了解案件是否已立案、是否进入审查起诉阶段等基本信息。

2. 通过检察机关了解
   案件侦查终结后，公安机关会将案件移送检察机关审查起诉。此时，犯罪嫌疑人或其家属可向检察机关（如区人民检察院或市人民检察院）查询案件进展。检察机关在审查起诉阶段会依法对案件进行全面审查，包括证据是否充分、是否构成犯罪等。家属可通过联系检察机关的案件管理部门或承办检察官了解案件是否已提起公诉、是否退回补充侦查等关键信息。

3. 通过法院了解
   若检察机关提起公诉，案件将进入审判阶段。此时，犯罪嫌疑人或其家属可向法院（如基层人民法院或中级人民法院）查询案件进展。法院在审判阶段会依法组织开庭审理，并作出判决。家属可通过联系法院的立案庭或审判庭了解案件是否已开庭、判决结果如何等最终信息。

4. 委托律师介入
   最为直接且有效的方式是委托律师介入案件。律师作为犯罪嫌疑人的法律代理人，有权依法会见犯罪嫌疑人、查阅案卷材料、与办案机关沟通等，从而全面了解案件进展。律师还可以根据案件情况为犯罪嫌疑人提供法律帮助，如申请取保候审、提出辩护意见等。因此，若犯罪嫌疑人或其家属希望及时、准确地了解案件进展，并保障犯罪嫌疑人的合法权益，建议尽快委托专业律师介入。