在中止履行劳动合同期间，公司和员工之间仍然存在劳动关系。以下从不同角度为你详细分析：
法律定义与劳动关系存续
根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规，劳动关系的建立、变更、解除或终止，均需遵循法定程序和条件。中止履行劳动合同，并非劳动合同的解除或终止，而是由于特定原因（如员工涉嫌违法犯罪被限制人身自由、员工因非工负伤或患病在规定医疗期内等），导致劳动合同暂时无法履行或无需履行的状态。在此期间，劳动合同的法律效力并未消失，双方的权利义务关系依然存在，只是暂时处于停滞状态。
中止履行的情形与劳动关系
员工涉嫌违法犯罪被限制人身自由：在此情况下，员工无法继续履行劳动合同，但劳动关系并未因此解除。一旦员工被释放或证明无罪，且劳动合同未到期，员工有权要求继续履行劳动合同。
员工因非工负伤或患病在规定医疗期内：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工在医疗期内享有病假工资和医疗待遇，劳动关系同样得以保留。医疗期满后，若员工仍无法从事原工作或另行安排的工作，用人单位方可依法解除劳动合同。
其他法定中止情形：如女职工在孕期、产期、哺乳期的特殊保护期间，虽然可能暂时无法从事某些工作，但劳动关系同样不受影响。
中止履行期间的权利义务
在中止履行劳动合同期间，虽然双方的实际履行义务暂时停止，但用人单位仍需承担一定的义务，如支付员工医疗期内的病假工资、缴纳社会保险费等。同时，员工也享有相应的权利，如要求用人单位保留其工作岗位、在条件具备时恢复履行劳动合同等。
劳动关系恢复与解除
当中止履行劳动合同的情形消失后，双方应恢复履行劳动合同。若因用人单位原因导致无法恢复履行，员工有权要求用人单位承担相应的法律责任。若双方协商一致或符合法定解除条件，劳动合同亦可在此期间解除，但需遵循法定程序和条件。
实际案例与启示
在实际操作中，曾有企业因员工涉嫌违法犯罪而单方面解除劳动合同，后经劳动仲裁或诉讼程序，被认定违法解除并需支付赔偿金。这充分说明，在中止履行劳动合同期间，企业不能随意解除劳动关系，否则将面临法律风险。
总结与建议：
中止履行劳动合同期间，公司和员工之间仍然存在劳动关系。双方应严格遵守法律法规，尊重对方的权利义务，确保劳动关系的合法、稳定、和谐。若你在此期间遇到任何法律问题或困惑，欢迎直接向我咨询，我将为你提供专业、全面的法律服务。