结论：第三方机构公司是否应担责，需根据具体情况判断，主要看其是否存在过错以及过错与病人摔伤之间的因果关系。以下从不同角度进行分析：
一、从合同关系角度分析
若护工与第三方机构存在劳动关系：
- 病人与第三方机构之间形成了服务合同关系。第三方机构有义务按照合同约定提供合格、尽职的护工服务。
- 如果护工在提供服务过程中因疏忽或故意导致病人摔伤，这通常被视为第三方机构未履行合同义务或履行合同义务不符合约定，第三方机构应当承担违约责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第五百七十七条，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。
若护工与第三方机构为劳务关系：
- 病人与第三方机构之间同样形成了服务合同关系。但在此情况下，护工作为提供劳务的一方，其过错行为可能直接导致第三方机构对病人承担侵权责任或违约责任（取决于合同具体约定）。
- 如果第三方机构在选任、监督护工方面存在过错，如未对护工进行必要的培训、未对护工的工作进行合理监督等，第三方机构也可能需要承担相应的责任。
二、从侵权责任角度分析
- 无论护工与第三方机构是劳动关系还是劳务关系，如果护工在提供服务过程中因过错导致病人摔伤，且该过错与摔伤结果之间存在因果关系，那么护工的行为就构成了侵权。
- 在护工与第三方机构为劳动关系的情况下，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。因此，第三方机构作为用人单位，应当承担侵权责任。
- 在护工与第三方机构为劳务关系的情况下，如果第三方机构在选任、指示或监督护工方面存在过错，且该过错与病人摔伤之间存在因果关系，那么第三方机构也可能需要承担相应的侵权责任。这通常被称为“选任过失责任”或“监督过失责任”。
三、实际操作建议
收集证据：
- 病人或其家属应尽快收集与摔伤事件相关的证据，如现场照片、视频、证人证言、医疗记录等。
- 同时，保留与第三方机构签订的服务合同、支付看护费的凭证等，以证明双方之间的合同关系。
与第三方机构协商：
- 在收集到足够证据后，可以尝试与第三方机构进行协商，要求其承担相应的责任。
- 协商过程中，可以明确提出自己的诉求和依据，并尝试达成和解协议。
寻求法律途径：
- 如果协商无果，病人或其家属可以向人民法院提起诉讼，要求第三方机构承担违约责任或侵权责任。
- 在诉讼过程中，需要提交充分的证据来支持自己的主张，并遵循法院的审理程序。
总结：第三方机构公司是否应担责，需根据具体情况判断其是否存在过错以及过错与病人摔伤之间的因果关系。在处理此类纠纷时，建议病人或其家属及时收集证据、与第三方机构协商，并在必要时寻求法律途径来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。