劳动合同第一次到期后和第二次到期后终止合同的主要不同在于经济补偿的计算方式以及用人单位的续签义务和法律责任可能存在差异。以下从几个方面进行详细分析：
一、经济补偿的计算方式
第一次劳动合同到期终止：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，如果用人单位不续签劳动合同或者用人单位降低劳动合同约定条件导致劳动者不续签的，用人单位需要向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式通常是按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
第二次劳动合同到期终止：
- 在某些地区或特定情况下（如劳动合同法实施后连续订立两次固定期限劳动合同且劳动者没有过错等），第二次劳动合同到期终止时，如果用人单位不续签或者降低条件导致劳动者不续签，用人单位同样需要支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式与第一次到期终止时相同，但需要注意的是，如果劳动者在用人单位连续工作满十年，或者连续订立两次固定期限劳动合同后再次续订且劳动者提出订立无固定期限劳动合同的，用人单位应当订立无固定期限劳动合同。如果用人单位违反规定不订立无固定期限劳动合同，可能需要承担更严重的法律责任，包括支付更高的经济补偿或赔偿金。
二、用人单位的续签义务和法律责任
第一次劳动合同到期终止：
- 用人单位在第一次劳动合同到期时，有权选择是否续签劳动合同。如果用人单位决定不续签，需要按照上述规定支付经济补偿。
- 用人单位没有强制续签的义务，除非存在法律规定的特殊情形（如劳动者在孕期、产期、哺乳期等）。
第二次劳动合同到期终止：
- 在某些情况下（如上述提到的连续订立两次固定期限劳动合同后），用人单位在第二次劳动合同到期时可能面临更严格的续签义务。如果劳动者提出订立无固定期限劳动合同，且符合法律规定的条件，用人单位应当订立。
- 如果用人单位违反规定不续签或者降低条件导致劳动者不续签，除了需要支付经济补偿外，还可能面临劳动行政部门的处罚或劳动者的诉讼索赔。
三、实际操作中的注意事项
- 地区差异：不同地区对于劳动合同到期终止的处理可能存在差异，特别是关于第二次劳动合同到期后是否必须订立无固定期限劳动合同的规定。因此，在处理具体案件时，需要参考当地的法律法规和司法实践。
- 合同条款：劳动合同中的条款对于到期终止的处理也至关重要。如果合同中明确约定了到期终止的条件和后果，双方应当按照合同约定执行。
- 劳动者权益保护：无论第一次还是第二次劳动合同到期终止，用人单位都应当尊重劳动者的权益，按照法律规定支付经济补偿，并避免采取不正当手段迫使劳动者离职。
建议：在处理劳动合同到期终止的问题时，用人单位和劳动者都应当仔细审查劳动合同条款和当地法律法规，确保双方权益得到妥善保护。如果有任何疑问或争议，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。