第一次与第二次签订固定期限劳动合同到期后，劳动者所享有的权益确实存在区别，主要体现在公司拒绝续签时的补偿或赔偿标准上。以下是对这一问题的详细分析：

一、第一次劳动合同到期后的权益

1. 补偿标准：当第一次固定期限劳动合同到期后，如果公司拒绝与劳动者续签劳动合同，这属于劳动合同期满不续签的情形。根据相关法律法规，公司需要向劳动者支付经济补偿金，补偿标准通常为“N”（即劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付）。

2. 法律依据：这一补偿标准主要依据《劳动合同法》的相关规定，旨在保障劳动者在劳动合同期满后的基本生活需求。

二、第二次劳动合同到期后的权益

1. 赔偿标准：与第一次劳动合同到期不同，当第二次固定期限劳动合同到期后，如果公司拒绝与劳动者续签无固定期限劳动合同（在符合签订无固定期限劳动合同条件的情况下），则构成违法。此时，公司需要向劳动者支付的是赔偿金，赔偿标准通常为“2N”（即经济补偿标准的两倍）。

2. 无固定期限劳动合同的签订：根据《劳动合同法》的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。因此，在第二次劳动合同到期后，如果劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，公司拒绝续签则构成违法。

3. 法律依据：赔偿标准的确定主要依据《劳动合同法》中关于违法解除或终止劳动合同的赔偿规定，旨在惩罚公司的违法行为并保障劳动者的合法权益。

三、建议与注意事项

1. 了解自身权益：作为劳动者，应当了解自己在劳动合同到期后的权益，包括经济补偿金和赔偿金的支付标准。

2. 保留相关证据：在劳动合同到期前，劳动者应当保留好与劳动合同相关的证据，如劳动合同文本、工资单、工作证等，以便在需要时维护自己的权益。

3. 及时咨询律师：如果劳动者在劳动合同到期后遇到公司拒绝续签或支付补偿/赔偿金的问题，应当及时咨询专业律师，了解自己的法律权益并寻求法律帮助。

4. 注意签订无固定期限劳动合同的条件：劳动者在签订第二次固定期限劳动合同时，应当注意自己是否符合签订无固定期限劳动合同的条件，以便在劳动合同到期后维护自己的权益。

如有任何关于劳动合同或劳动权益的疑问，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律建议和帮助。