教师请病假期间寒暑假工资的发放需根据病假时长、地区规定及学校具体制度综合判断，核心结论如下：

1. 病假未超过法定医疗期
   根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，教师作为事业单位工作人员，其医疗期通常为3-24个月（具体根据工龄确定）。若寒暑假包含在医疗期内，工资发放需分情况：

   • 基本工资全额发放：多数地区规定，医疗期内教师应享受基本工资（岗位工资+薪级工资）的100%，寒暑假期间亦不例外。
     
   • 绩效工资可能扣减：若学校将寒暑假视为“非教学期”，可能暂停发放与教学任务挂钩的绩效工资，但需以单位规章制度或劳动合同约定为准。
     
   • 地区差异：如上海、广东等地明确要求医疗期内工资不得低于当地最低工资标准的80%，而部分省份可能允许学校自主制定细则，需结合当地政策。

2. 病假超过法定医疗期
   若寒暑假期间病假已超出医疗期，工资发放可能按以下规则调整：

   • 生活费标准：单位可按不低于当地最低工资标准的80%支付生活费，寒暑假期间同样适用。
     
   • 合同或制度约束：若学校规章制度或劳动合同中约定了更优待遇（如全额发放至病假结束），则从其约定；若无约定，则遵循法定最低标准。
     
   • 特殊情形：若教师因工伤或职业病请假，寒暑假期间工资发放需按《工伤保险条例》执行，与普通病假不同。

3. 寒暑假与病假的重叠处理

   • 连续计算原则：寒暑假通常不计入医疗期（如北京、江苏等地规定），但若病假跨越寒暑假，医疗期可能顺延至开学后继续计算。
     
   • 单位自主权限制：学校不得以寒暑假为由单方面降低病假工资标准，除非符合地方性法规或经教职工代表大会审议通过的制度。

建议行动：

• 核实当地教育部门或人社局发布的《事业单位工作人员病假期间工资待遇办法》；
  
• 查阅学校《教职工考勤管理制度》中关于病假与寒暑假工资的专项条款；
  
• 若发现单位违规扣减工资，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
  

如有具体案例或地区信息，可进一步提供细节以便精准分析。