结论：单位公开通报批评被行政拘留的员工是否合法，需根据具体情况判断，主要涉及单位内部规章制度、员工隐私权保护以及通报内容是否真实合法等因素。以下从不同角度进行分析：
单位内部规章制度的角度：
- 如果单位的规章制度中明确规定了员工因违法违纪行为（包括被行政拘留）将受到公开通报批评的处罚，并且该规章制度已经通过合法程序制定（如经过职工代表大会或全体职工讨论，与工会或职工代表平等协商确定，并进行了公示或告知员工），那么单位依据规章制度进行公开通报批评，在形式上可能是合法的。
- 法律依据：根据《劳动合同法》第四条，用人单位应当依法建立和完善劳动规章制度，保障劳动者享有劳动权利、履行劳动义务。用人单位在制定、修改或者决定有关劳动报酬、工作时间、休息休假、劳动安全卫生、保险福利、职工培训、劳动纪律以及劳动定额管理等直接涉及劳动者切身利益的规章制度或者重大事项时，应当经职工代表大会或者全体职工讨论，提出方案和意见，与工会或者职工代表平等协商确定。在规章制度和重大事项决定实施过程中，工会或者职工认为不适当的，有权向用人单位提出，通过协商予以修改完善。用人单位应当将直接涉及劳动者切身利益的规章制度和重大事项决定公示，或者告知劳动者。
员工隐私权保护的角度：
- 即使单位有规章制度支持公开通报批评，但如果通报内容涉及员工的个人隐私（如行政拘留的具体原因等），且该隐私信息与工作无关，那么单位的公开通报行为可能侵犯了员工的隐私权，从而构成违法。
- 法律依据：根据《民法典》第一千零三十二条，自然人享有隐私权。任何组织或者个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。隐私是自然人的私人生活安宁和不愿为他人知晓的私密空间、私密活动、私密信息。
通报内容真实合法的角度：
- 单位在公开通报批评时，必须确保通报的内容真实、准确，且没有夸大或歪曲事实。如果通报内容不实，或者存在诽谤、侮辱等情形，那么单位可能构成对员工名誉权的侵犯，需要承担相应的法律责任。
- 法律依据：根据《民法典》第一千零二十四条，民事主体享有名誉权。任何组织或者个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人的名誉权。名誉是对民事主体的品德、声望、才能、信用等的社会评价。
建议：
- 对于员工而言，如果认为单位的公开通报批评行为侵犯了自己的合法权益，可以先与单位进行协商，要求单位撤销通报或采取补救措施。如果协商无果，可以向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，甚至向法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
- 对于单位而言，在制定和执行规章制度时，应严格遵守法律法规的规定，确保规章制度的合法性和合理性。在公开通报批评员工时，应谨慎处理，避免侵犯员工的隐私权和名誉权等合法权益。
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