结论前置：在没有签订书面劳动合同的情况下被开除，如果用人单位存在违法行为，劳动者是有权要求赔偿的，赔偿主要包括未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿和违法解除劳动合同的赔偿金两部分。
一、未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。
- 根据该法第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
赔偿计算：
- 从入职第二个月起至满一年期间（最长十一个月），劳动者可以要求用人单位支付双倍工资。具体计算公式为：月工资 × 未签订劳动合同的月数 × 2（需扣除已支付的部分）。例如，若月工资为5000元，工作了6个月未签合同，则双倍工资差额为5000元 × 5个月（第2个月至第6个月） = 25000元（实际为额外支付一倍，即差额部分）。
时效注意：
- 申请仲裁的时效为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。
二、违法解除劳动合同的赔偿金
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
赔偿计算：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。赔偿金则为经济补偿的二倍。具体计算公式为：工作年限对应的月数 × 月工资 × 2。例如，若工作了6个月，月工资为5000元，则经济补偿为半个月工资即2500元，赔偿金为5000元。
三、无需赔偿的合法解除情形
- 如果劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等符合《劳动合同法》第三十九条规定的情形，用人单位开除劳动者无需支付赔偿，也无需支付因未签订书面劳动合同而产生的双倍工资差额。
四、实际案例分析
以小李为例，假设他于2023年3月1日入职某公司，月工资为6000元，公司一直未与其签订书面劳动合同，并于2023年9月1日无故将其开除。那么小李可以要求公司支付：
- 未签订书面劳动合同的双倍工资差额：从2023年4月1日至2023年8月31日，共计5个月，双倍工资差额为6000元 × 5 = 30000元（实际为额外支付一倍，即差额部分）。
- 违法解除劳动合同的赔偿金：小李工作了6个月，经济补偿为半个月工资，即6000元 × 0.5 = 3000元，赔偿金则为3000元 × 2 = 6000元。
五、证据准备与维权途径
证据准备：
- 劳动者应准备相关证据，如工作证、考勤记录、工资发放记录、同事证言等，以证明与用人单位存在劳动关系、入职时间、工资水平以及被开除的事实。
维权途径：
- 劳动者可以通过申请劳动仲裁或提起诉讼的方式来维护自己的合法权益。在维权过程中，务必注意仲裁和诉讼的时效问题，以免错过维权时机。
总结与建议：在没有签订书面劳动合同的情况下被开除，劳动者有权根据法律规定要求用人单位支付相应的赔偿。为了更好地维护自己的权益，劳动者应准备好相关证据，并通过合法的途径来维权。如果你在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。