结论前置：未签订劳动合同且被厂里开除的劳动者，在符合法定条件下，有权要求用人单位支付双倍工资差额及违法解除劳动合同的赔偿金。下面我将从这两个主要方面为你详细解释，并提供一些操作建议。

一、未签订劳动合同的双倍工资差额

法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

计算方式：

• 起算时间：从用工满一个月的次日起开始计算。
• 截止时间：至补订书面劳动合同的前一日或劳动关系终止（解除）前一日，但最长不超过11个月。
• 具体金额：以劳动者实际获得的月工资为基数，计算应得的双倍工资差额部分。

举例说明：假设你月工资为5000元，工作了8个月未签合同，则双倍工资差额为 \(5000 \text{元/月} \times 7 \text{个月} = 35000 \text{元}\)（第一个月不计算在内）。

二、违法解除劳动合同的赔偿金

法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

计算方式：

• 经济补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
• 赔偿金：经济补偿标准的二倍。

举例说明：若你工作了6个月，月工资为5000元，则赔偿金为 \(5000 \text{元/月} \times 1 \text{个月} \times 2 = 10000 \text{元}\)。

三、其他可能的主张

1. 补缴社会保险费：若工厂未依法为你缴纳社会保险费，你可以要求工厂补缴。
2. 加班工资等劳动报酬：若存在加班事实且未支付加班工资，你可以主张加班工资等劳动报酬。
3. 应休未休年休假工资：根据《职工带薪年休假条例》，单位确因工作需要不能安排职工休年休假的，应按照该职工日工资收入的300%支付年休假工资报酬。

四、操作建议与注意事项

1. 收集证据：你应收集工作证、考勤记录、工资支付记录（如银行流水、工资条）、工友证言等证据，以证明劳动关系及被开除的事实。
2. 协商解决：首先尝试与工厂进行协商，要求支付相应赔偿。
3. 投诉举报：向当地劳动监察部门投诉举报工厂的违法行为。
4. 申请仲裁：若协商无果，你可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求工厂支付双倍工资差额、赔偿金等。仲裁时效期间为一年，从你知道或应当知道权利被侵害之日起计算。
5. 提起诉讼：对仲裁结果不服的，你可以向人民法院提起诉讼。

总结：未签订劳动合同且被厂里开除的劳动者，在符合法定条件下，有权要求用人单位支付双倍工资差额及违法解除劳动合同的赔偿金。同时，你还可以根据实际情况主张其他可能的赔偿。在维权过程中，你应积极收集证据，并通过协商、投诉举报、劳动仲裁或诉讼等途径维护自身合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。