当债权人主张债务加入人承担共同还款义务时，法院会依据相关法律法规和诉讼程序进行细致的处理。以下是对这一问题的详细解答：

一、债务加入的法律定义与性质

债务加入，也被称为并存的债务承担，它指的是第三人与债权人、债务人之间达成协议，或者第三人直接向债权人表示愿意承担债务人的债务，同时不免除原债务人履行义务的一种债务承担方式。在这种方式下，第三人与原债务人共同对债权人负责偿还债务，原债务人并未脱离债的关系。

二、法律依据

根据《中华人民共和国民法典》第五百五十二条的规定：“第三人与债务人约定加入债务并通知债权人，或者第三人向债权人表示愿意加入债务，债权人未在合理期限内明确拒绝的，债权人可以请求第三人在其愿意承担的债务范围内和债务人承担连带债务。”这一条款为债权人在符合条件时向债务加入人主张权利提供了明确的法律依据。

三、法院处理流程与要点

1. 审查债务加入事实：

   • 法院会首先审查债权人提供的证据，以确认债务加入行为是否真实存在。这些证据可能包括三方签订的书面协议、债务加入人向债权人发出的愿意承担债务的函件、短信、微信聊天记录等。

2. 确定债务范围：

   • 法院会进一步明确债务加入人愿意承担的债务范围。如果债务加入协议中明确约定了承担的具体金额、种类等，法院将按约定确定；如果未明确约定，法院一般会推定为债务加入人对全部债务承担连带清偿责任。

3. 考虑诉讼时效：

   • 法院会审查债权人是否在法定的诉讼时效期间内提起诉讼。一般来说，诉讼时效期间为三年，从债权人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。如果债权人未在诉讼时效期间内提起诉讼，债务加入人可能会以诉讼时效已过进行抗辩。

4. 确定诉讼主体与举证责任：

   • 在诉讼中，债权人为原告，债务加入人为被告。债权人需要承担举证责任，证明债务加入人确实加入了该笔债务且尚未履行还款义务。这可能包括提供借款合同、债务加入协议、转账记录等证据。

四、债务加入人的责任承担

一旦法院认定债务加入成立，债务加入人与原债务人将对债权人承担连带债务。这意味着：

• 债权人既可以单独起诉债务加入人要求其履行全部或部分债务，也可以将债务加入人与原债务人列为共同被告一并起诉。
• 债务加入人在承担债务后，原则上不能向原债务人追偿，除非其与原债务人之间另有约定。
• 如果债务加入人无法完全履行还款义务，债权人仍有权向原债务人追讨剩余债务。

五、法律后果

如果法院认定债务加入人确实承担了债务并且未履行还款义务，那么债务加入人将需要承担相应的法律责任，包括但不限于偿还本金、利息、违约金等。同时，债务加入人的信用记录也可能因此受到影响。

综上所述，当债权人主张债务加入人承担共同还款义务时，法院会依据相关法律法规和诉讼程序进行细致的处理。债权人应充分准备证据，明确债务范围，并在法定的诉讼时效期间内提起诉讼，以维护自己的合法权益。