结论：在您描述的情况下，母亲是否享有遗产继承权，主要取决于她与父亲之间的婚姻关系是否有效存续，以及是否存在法律上的继承障碍。若父母婚姻关系因未办理离婚手续而仍然有效，母亲作为配偶，通常享有法定继承权；若存在重婚等法律障碍，则可能丧失继承权。以下从不同角度详细分析：
一、婚姻关系存续状态对继承权的影响
婚姻关系有效存续：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，配偶是第一顺序的法定继承人。若父母虽分居多年但未办理离婚手续，其婚姻关系在法律上仍然有效存续。
- 在此情况下，母亲作为父亲的配偶，有权继承父亲的遗产，除非存在法律规定的丧失继承权的情形。
婚姻关系被认定为无效或可撤销：
- 若母亲与他人同居的行为被认定为构成重婚（即与他人以夫妻名义共同生活），则母亲与父亲的婚姻关系可能因重婚而无效或可撤销（但需注意，重婚导致的婚姻无效或可撤销需通过法律程序确认）。
- 若婚姻关系被认定为无效或可撤销，且该认定发生在父亲去世之前，则母亲可能因不再具有配偶身份而丧失继承权。但若该认定发生在父亲去世之后，且母亲在父亲去世时仍被视为配偶，则其继承权可能不受影响（具体需根据法院判决确定）。
二、丧失继承权的法定情形
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十五条的规定，继承人有下列行为之一的，丧失继承权：
- 故意杀害被继承人；
- 为争夺遗产而杀害其他继承人；
- 遗弃被继承人，或者虐待被继承人情节严重；
- 伪造、篡改、隐匿或者销毁遗嘱，情节严重；
- 以欺诈、胁迫手段迫使或者妨碍被继承人设立、变更或者撤回遗嘱，情节严重。
在您描述的情况下，若母亲不存在上述丧失继承权的情形，且婚姻关系有效存续，则她通常享有继承权。
三、同居行为对继承权的影响
- 同居行为本身并不直接导致继承权的丧失。继承权的丧失需基于法律规定的特定情形，如同居行为未构成重婚或未导致婚姻关系无效/可撤销，且母亲未实施其他丧失继承权的行为，则其继承权不受影响。
- 但若同居行为被认定为构成重婚，且该重婚行为导致婚姻关系无效或可撤销，则母亲可能因不再具有配偶身份而丧失继承权。
四、建议与注意事项
- 核实婚姻关系状态：建议核实父母是否已办理离婚手续，以确定婚姻关系是否有效存续。
- 收集证据：若母亲主张继承权，建议收集能够证明婚姻关系有效存续、未构成重婚以及未实施丧失继承权行为的证据。
- 咨询专业律师：鉴于遗产继承问题的复杂性，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
最后，每个家庭的情况都是独特的，法律问题的解决往往需要综合考虑多种因素。如果您在遗产继承方面遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。