当您遇到私人补课未上完且对方不退钱的情况时，可以按照以下步骤来处理：
一、明确合同条款与法律依据
查阅合同：
- 首先，您需要仔细核对与私人补课老师签订的合同或协议，特别是关于退费、课程转让或延期的具体条款。
- 如果合同中明确规定了未消费课时可以退费，那么您就有权要求对方按照合同约定进行退款。
- 同时，注意合同中是否存在不公平、不合理的条款，如“一经售出概不退换”等，这类条款可能因违反《消费者权益保护法》而无效。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。
- 《消费者权益保护法》也赋予了消费者公平交易的权利，商家不得强制消费者进行消费。
二、与私人补课老师协商沟通
主动协商：
- 您应该主动与私人补课老师进行沟通，提出书面退费申请，并说明退费的原因，如身体原因、时间冲突等。
- 如果可能的话，附上相关证明材料，如医疗记录、工作调动证明等，以增加说服力。
- 要求对方按照剩余课时比例退还费用，或者通过转课、延期等方式解决。
保留证据：
- 在协商过程中，务必保存好合同、付款凭证、沟通记录（如录音、文字聊天记录）、课程签到表等材料，这些将作为后续维权的重要依据。
三、寻求第三方介入调解
向消协投诉：
- 如果协商未果，您可以向当地的消费者协会（12315）提交投诉材料，请求他们进行调解。
市场监管部门举报：
- 如果您认为私人补课老师存在违规行为，如无资质教学、虚假宣传等，可以向当地的市场监督管理局进行举报。
行业主管部门反馈：
- 如果私人补课老师属于某个行业或协会的成员，您也可以通过该行业或协会的官方渠道反映问题。
四、法律途径解决纠纷
发送律师函：
- 如果上述方式均未能解决问题，您可以考虑委托律师出具律师函，正式敦促对方履行退款义务。
提起诉讼：
- 如果其他方式均无效，且您有足够的证据支持自己的诉求，可以向法院提起诉讼。
- 在提起诉讼前，请确保您已经准备好了完整的证据链，包括合同、付款记录、沟通记录以及损失证明等。
- 诉讼成本相对较高，但一旦胜诉，法院将强制对方执行退款。
五、注意事项
- 避免冲动行为：在处理纠纷过程中，请务必保持冷静和理性，避免采取拉横幅、网络曝光等过激手段，以免触犯法律。
- 及时行动：发现问题后应尽快处理，避免因拖延导致证据灭失或超过诉讼时效。
希望以上建议能对您有所帮助。在处理此类纠纷时，请务必保持耐心和理性，通过合法途径维护自己的权益。