核心结论：即使没有合同，在网上付款后对方不开发票也是不合法的，您有权要求对方开具发票，若对方拒绝，可通过多种途径维护自身权益。以下是具体分析：

1. 发票开具的法定义务
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。这意味着，无论是否有书面合同，只要发生了经营性收款行为，收款方都有义务开具发票。对方不开发票的行为已涉嫌违法，您有权要求其补开。

2. 无合同情况下的权益保障
   即使没有书面合同，您与对方之间仍可能构成事实合同关系（如通过聊天记录、付款记录、服务成果等证明交易存在）。此时，您可通过以下方式固定证据：

   • 保存付款凭证（如转账记录、支付截图）；
     
   • 留存与对方的沟通记录（如微信、邮件中对方承认交易的内容）；
     
   • 收集服务或商品交付的证据（如物流单号、服务成果照片）。
     这些证据可辅助证明交易真实性，为后续维权提供支持。

3. 维权途径

   • 协商解决：首先可与对方沟通，明确要求开具发票，并说明拒开的法律后果（如税务处罚）。
     
   • 向税务机关举报：若协商无果，可向当地税务局稽查局举报（可通过12366纳税服务热线或电子税务局官网），税务机关将依法对对方进行调查并责令补开发票。
     
   • 投诉至市场监管部门：若对方行为涉嫌欺诈或违反消费者权益保护法（如您作为消费者购买商品），可向12315平台投诉。
     
   • 法律诉讼：若因未开发票导致您无法抵扣税款或遭受其他损失（如需报销但无法提供凭证），可向法院起诉要求对方赔偿损失，并同时要求补开发票。

4. 注意事项

   • 发票类型需与交易性质匹配（如增值税普通发票或专用发票）；
     
   • 若对方为个人且未办理税务登记，可能无法直接开具发票，此时可要求其到税务机关代开发票；
     
   • 维权过程中注意保留所有证据原件，避免证据灭失。

建议行动步骤：

1. 再次联系对方，明确要求补开发票并留存沟通记录；
   
2. 若对方拒绝，立即向税务局举报并提供交易证据；
   
3. 根据实际损失情况，决定是否进一步通过投诉或诉讼维权。
   

如有其他细节需要补充（如交易金额、对方身份等），可随时告知，我会进一步为您分析。