结论：开车压死了别人家鸽子后逃跑，一般情况下不构成交通肇事逃逸，但可能涉及其他法律责任。
分析说明：
交通肇事逃逸的构成要件：
- 交通肇事逃逸通常指的是在发生交通事故后，为逃避法律追究而逃跑的行为。这里的“交通事故”一般指的是车辆与车辆、车辆与行人或车辆与其他物体之间发生的碰撞、刮擦等造成人员伤亡或财产损失的事件。
- 鸽子作为家禽，虽然属于他人的财产，但单独一只鸽子被压死，通常不被视为构成交通事故的严重程度，尤其是当这一事件并未对公共安全或他人人身安全造成威胁时。
可能涉及的法律责任：
- 民事责任：尽管不构成交通肇事逃逸，但压死他人鸽子仍然属于侵犯他人财产权的行为。根据《民法典》的相关规定，行为人应当承担赔偿责任，赔偿鸽子主人的经济损失。
- 行政责任：如果行为人的逃跑行为被认定为故意逃避赔偿或存在其他违法行为（如无证驾驶、酒驾等），则可能面临行政处罚，如罚款、拘留等。但这一处罚并非基于交通肇事逃逸，而是基于其他违法行为。
- 刑事责任：在极少数情况下，如果行为人的行为被认定为故意毁坏财物且情节严重（如多次压死他人财物、造成重大经济损失等），则可能构成故意毁坏财物罪，面临刑事处罚。但这种情况非常罕见，且需要满足严格的构成要件。
特殊场景：
- 如果鸽子是在特定的交通环境中（如高速公路、城市快速路等）被压死，且该环境对车辆行驶有特殊要求（如限速、禁止停车等），行为人的逃跑行为可能因违反交通管理规定而面临更严重的行政处罚。但即便如此，也通常不被直接认定为交通肇事逃逸。
行动建议：
- 主动承担责任：如果发生了压死他人鸽子的情况，建议行为人主动停车，与鸽子主人协商赔偿事宜，以体现诚意和责任感。
- 保留证据：在协商过程中，可以拍照或录像记录现场情况，以及鸽子的价值等证据，以便在需要时提供证明。
- 咨询法律意见：如果对于赔偿金额或责任划分存在争议，建议咨询专业律师以获取更具体的法律意见和帮助。
后续思考依据：
- 在处理类似事件时，应充分考虑行为的性质、后果以及法律规定，以避免不必要的法律纠纷和损失。
- 如果行为人的逃跑行为被误认为交通肇事逃逸，可能会面临更严重的法律后果。因此，在发生任何交通事故或财产损失事件时，都应保持冷静，主动承担责任并寻求合法途径解决问题。