结论：开车压死别人家的狗后逃跑，是否构成肇事逃逸，需结合具体情况及法律规定进行综合判断。若司机明知事故发生且意图逃避法律责任，则构成肇事逃逸；若司机不知情或虽知情但采取了合理措施，则通常不构成逃逸。以下是对此问题的详细分析：
一、逃逸的定义与法律依据
根据《道路交通事故处理程序规定》，道路交通肇事逃逸是指行为人在发生交通事故后，为逃避法律追究而驾驶车辆或遗弃车辆逃离事故现场的行为。此定义强调了“逃避法律追究”的主观故意。在开车压死狗的情况下，若司机明知事故发生却选择逃离，即符合逃逸的主观要件。
二、具体情形分析
明知且逃避：
- 若司机明知压死了狗，且知道狗有主人，却选择直接离开现场，未停车处理或报警备案，这种行为符合交通肇事逃逸的特征，属于逃逸行为。因为此时司机的行为已实际造成了他人（狗主人）的财产损失，且其离开现场是为了逃避因此产生的法律责任。
- 举例：李某开车时不慎将路边窜出的狗压死，明知狗有主人却未停车处理，直接驾车离开。若狗主人事后报警并提供证据，李某的行为很可能被认定为肇事逃逸。
不知情或合理措施：
- 若司机在不知情的情况下压死狗，或虽知情但采取了合理措施（如停车查看、寻找狗主人、报警备案等），则通常不构成逃逸。因为在这种情况下，司机没有逃避法律责任的主观故意。
- 举例：王某开车时因视线受阻未注意到路边突然窜出的狗，不慎将其压死。王某立即停车查看，并尝试寻找狗主人但未果，随后报警备案。王某的行为不构成肇事逃逸。
- 特殊情况：即使事后证明狗有主人，只要司机能证明自己当时确实不知道压到的是有主之狗，且没有逃避责任的主观故意，也不应认定为逃逸。
三、逃逸的后果
行政责任：
- 逃逸行为即使没有造成实质损害后果，也可能受到行政处罚，如罚款、扣分等。若构成犯罪又有逃逸行为，还可能被吊销机动车驾驶证，且终生不得重新取得。
民事责任：
- 交通事故后逃逸的司机，若被认定负事故的全部责任，则需承担全部的民事赔偿责任，包括赔偿狗主人的财产损失等。
刑事责任：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，违反交通运输管理法规发生重大事故，致人重伤、死亡或使公私财产遭受重大损失的，可能面临刑事处罚。若肇事后逃逸或有其他特别恶劣情节，刑罚将更为严厉。不过，就开车压死狗这一行为本身而言，通常不构成刑事犯罪，除非同时满足其他构罪条件（如财产损失达到一定标准等）。
四、建议做法
在发生此类事件时，司机应首先停车查看情况，确认是否压到了动物并尝试找到其主人进行协商处理。如果找不到主人，应及时报警备案并说明情况，以避免后续不必要的麻烦和法律风险。这样做不仅符合法律和道德要求，也是对自己和他人负责的表现。
总结：开车压死别人家的狗后逃跑是否构成肇事逃逸，需根据具体情况判断。为避免不必要的法律纠纷和道德谴责，建议驾驶者在行车过程中保持高度警惕，注意路况和周围环境。一旦不慎撞到小动物，应立即停车查看并妥善处理。若您对此类问题仍有疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。