私人雇的汽车驾驶员出了事，处理方式需根据事故具体情况、雇佣关系性质以及法律规定来综合判断，以下是具体分析：

1. 明确事故责任划分

   • 驾驶员全责或主责：若事故由驾驶员的过错（如超速、酒驾、违规变道等）导致，驾驶员需承担主要或全部民事赔偿责任。根据《民法典》第1165条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。若驾驶员受雇于个人（非单位），雇主可能因“选任过失”（如明知驾驶员无驾照仍雇佣）承担部分连带责任，但实践中雇主责任通常较轻。
   • 雇主或第三方责任：若事故因车辆故障（如刹车失灵）、雇主指挥不当（如要求驾驶员疲劳驾驶）或第三方过错导致，责任可能由雇主、车辆所有人或第三方承担。例如，若雇主未定期检修车辆导致事故，可能需根据《民法典》第1209条承担相应责任。

2. 区分雇佣关系性质

   • 个人劳务关系：若驾驶员与雇主为临时雇佣关系（如口头约定按次付费），根据《民法典》第1192条，提供劳务一方（驾驶员）因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方（雇主）承担侵权责任；若因驾驶员故意或重大过失致损，雇主可向其追偿。同时，驾驶员自身受伤的，根据双方过错分担损失。
   • 劳动关系：若驾驶员与雇主为长期劳动关系（如签订劳动合同、缴纳社保），则适用《工伤保险条例》。驾驶员因工受伤的，雇主需按工伤标准赔偿；若驾驶员因故意或重大过失致第三方受损，雇主承担责任后可向其追偿。

3. 处理流程建议

   • 立即报警并保护现场：发生事故后，驾驶员应立即停车、报警、救助伤者，并保护现场等待交警调查。雇主需配合提供车辆信息、雇佣关系证明等材料。
   • 收集证据：包括事故认定书、现场照片、医疗记录、证人证言等，以明确责任主体和损失范围。
   • 协商或诉讼：根据责任划分，雇主与驾驶员可协商赔偿方案；若协商不成，受害方可向法院起诉要求赔偿，雇主和驾驶员可能成为共同被告。
   • 保险理赔：若车辆投保了交强险或商业险，雇主应及时联系保险公司报案，由保险公司在责任范围内赔付。需注意，若驾驶员存在酒驾、逃逸等免责情形，保险公司可能拒赔。

4. 预防措施

   • 签订书面协议：明确雇佣关系性质、权利义务及责任划分，避免口头约定导致纠纷。
   • 审核驾驶员资质：确保驾驶员具备合法驾照、无重大交通违法记录，降低事故风险。
   • 购买足额保险：为车辆投保交强险及足额商业险（如第三者责任险、车上人员责任险），转移赔偿风险。

总结：私人雇的汽车驾驶员出事后的处理需结合事故责任、雇佣关系及保险情况综合判断。雇主应优先确保人员安全，及时报警并收集证据，后续根据责任划分协商或诉讼解决。为避免纠纷，建议提前签订书面协议、审核驾驶员资质并购买足额保险。如有具体案件细节，可进一步向我咨询。