书记员合同到期后的处理方式是一个涉及双方权益的重要问题，需要依据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规来规范操作。以下是对这一问题的详细解答：
一、合同续签
双方意愿表达与沟通：
- 在合同到期前，单位应主动与书记员进行沟通，明确表达是否续签的意向。同时，书记员也应积极表明自己的态度和意愿，以便双方能够提前做好准备。
合同条款协商：
- 若双方都有续签意向，接下来需要就新合同的条款进行协商。这包括工资待遇、工作内容、工作时间、福利待遇等关键要素。双方应本着公平、合理的原则进行协商，确保新合同能够满足双方的需求。
新合同签订：
- 协商一致后，双方应按照规定的程序签订新的劳动合同。新合同应明确双方的权利和义务，确保合作关系得以延续。在签订新合同时，双方应仔细阅读合同条款，确保无误后再签字或盖章。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同的续签需由用人单位与劳动者协商一致，并在劳动合同文本上签字或盖章生效。这是确保合同续签合法有效的关键步骤。
二、合同终止与经济补偿
合同终止条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条第一项规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。这意味着如果双方没有续签意向或协商不一致，合同将在到期时自动终止。
经济补偿支付：
- 若除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的，用人单位需支付经济补偿。经济补偿的标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。对于工作六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。如果劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。这里的月工资指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
法律依据：
- 经济补偿的支付依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项及第四十七条的规定执行。这是确保经济补偿合法、合理的法律依据。
三、离职手续办理
离职手续内容：
- 合同终止后，双方需按照相关规定办理离职手续。这包括但不限于工作交接、薪资结算、社会保险和公积金的转移、出具离职证明等。这些手续是确保双方权益得到保障的重要环节。
单位责任：
- 单位应积极协助书记员办理离职手续，确保其权益得到充分保障。单位应提供必要的支持和帮助，如提供离职证明、协助办理社保和公积金转移等。
法律依据：
- 离职手续的办理依据《事业单位人事管理条例》第十九条及相关法律法规执行。这是确保离职手续合法、有效的法律依据。
四、特殊情况处理
书记员主动提出不续签：
- 如果书记员主动提出不续签合同，应提前向单位提交书面申请，说明离职原因和离职时间，并做好工作交接。单位在收到申请后，应及时批准并办理相关离职手续。
单位提前通知义务：
- 若单位决定不再续签合同，应提前一定时间（通常为30日）通知书记员，以便其做好心理准备和工作交接。这是单位应尽的义务，也是确保双方权益得到保障的重要措施。
综上所述，书记员合同到期后的处理方式需严格遵循相关法律法规的规定。双方应明确续签意向，协商合同条款，并在合同终止时依法办理离职手续及支付经济补偿（如适用）。通过规范的操作流程，可以确保双方的权益得到充分保障。