结论：针对“如果一个人让骗子逼得自杀而亡，留有遗书，国家公安会立案彻查吗”这一问题，国家公安是否会立案彻查，取决于自杀事件与诈骗行为之间的因果关系是否明确，以及是否存在足够的证据证明诈骗行为直接导致了自杀结果。以下从多个角度进行详细分析：

1. 立案条件与因果关系：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关立案的条件是认为有犯罪事实需要追究刑事责任。在本案中，若要立案，必须证明诈骗行为与自杀结果之间存在直接的因果关系。
   • 遗书作为证据，虽然可以反映自杀者的心理状态和自杀原因，但仅凭遗书并不足以直接证明诈骗行为是导致自杀的唯一或主要原因。还需要其他证据，如诈骗行为的实施过程、自杀者与诈骗者之间的交往记录、自杀前的心理状态变化等，来综合判断。

2. 证据收集与调查：

   • 公安机关在接到报案后，会进行初步调查，收集相关证据。如果证据显示诈骗行为与自杀之间存在紧密联系，公安机关会进一步立案侦查。
   • 调查过程中，公安机关可能会询问诈骗嫌疑人、自杀者的亲友、目击者等，以获取更多线索和证据。同时，也会对自杀现场进行勘查，收集物证等。

3. 法律责任与量刑：

   • 如果诈骗行为被证实是导致自杀的直接原因，诈骗者可能会面临更严重的法律责任。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，诈骗公私财物，数额较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。
   • 若诈骗行为导致他人自杀，这可能被视为诈骗行为的“特别严重情节”，从而在量刑时予以从重处罚。但具体量刑还需根据案件的具体情况和法院的判决来确定。

4. 实际操作中的考量：

   • 在实际操作中，公安机关会综合考虑各种因素来决定是否立案。这包括证据的充分性、案件的复杂性、社会影响等。
   • 如果证据不足或案件复杂，公安机关可能会要求进一步补充证据或进行深入调查后再决定是否立案。

建议与后续行动：

• 如果您或您身边的人遇到了类似情况，建议立即向当地公安机关报案，并提供尽可能多的证据和线索。
• 同时，也可以寻求法律援助或咨询专业律师，以了解更多关于案件处理、证据收集和法律责任等方面的信息。

作为孙树律师，我专注于刑事辩护和取保候审领域。如果您有任何关于刑事案件的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。