结论：和同事打架被行政拘留十几天后，是可以开具无犯罪记录证明的。以下从多个角度为你详细分析：

一、行政拘留的性质

行政拘留是一种行政处罚措施，它针对的是违反治安管理等行政法律法规的行为，而非刑事犯罪行为。行政拘留的目的是对违法行为人进行短期内的限制人身自由，以起到惩戒和教育的作用。行政拘留本身并不属于刑事处罚，因此不会留下犯罪记录。

二、无犯罪记录证明的定义与开具条件

无犯罪记录证明是由国家公安机关出具的，证明公民在特定时间范围内没有实施犯罪行为的书面文件。其开具的核心条件是当事人没有被人民法院判处过刑罚，即没有犯罪记录。这包括主刑如管制、拘役、有期徒刑、无期徒刑、死刑，以及附加刑如罚金、剥夺政治权利、没收财产等。只要没有这些刑事判决，原则上就可以开具无犯罪记录证明。

三、行政拘留对开具无犯罪记录证明的影响

由于行政拘留不属于刑事处罚，因此它不会影响当事人开具无犯罪记录证明。虽然公安部门会保留行政拘留的记录（通常称为“案底”），但这并不等同于犯罪记录。案底是当事人由于违法而被相关部门作出的行政处罚的记录，它与犯罪记录是两个不同的概念。因此，即使你有行政拘留的记录，仍然可以开具无犯罪记录证明。

四、开具无犯罪记录证明的具体流程

1. 准备材料：你需要准备好个人身份证明材料，如身份证、户口本等。
2. 前往申请：前往你常住户口所在地的派出所或公安机关，向相关工作人员说明开具无犯罪记录证明的需求，并强调你的拘留情况但未构成犯罪的事实。
3. 填写表格：如实填写相关申请表格，包括个人基本信息、拘留情况等。
4. 缴纳费用：根据当地规定缴纳一定的费用（费用标准各地可能有所不同）。
5. 等待审核：经过审核后，派出所或公安机关会在规定的时间内为你开具无犯罪记录证明。

五、注意事项与特殊情况

• 确保信息真实准确：在申请开具无犯罪记录证明时，务必确保提供的信息真实准确，避免信息错误导致证明开具失败。
• 了解当地规定：虽然一般情况下行政拘留不影响无犯罪记录证明的开具，但具体能否开具还可能受地区规定、拘留情节等因素影响。部分地区可能对特定类型的打架行为有更为严格的规定，或在一定期限内可能不会立即开具无犯罪记录证明。因此，在实际操作中，建议你提前了解当地的具体规定和流程。
• 案底的其他影响：尽管行政拘留不会留下犯罪记录，但案底的存在仍然可能对你的日常生活产生一定的负面影响，比如在某些就业、政审等场合可能会受到限制或审查。

如果你在开具无犯罪记录证明的过程中遇到任何问题或困难，或者有其他法律问题需要咨询，都可以直接向我提问。我会根据你的具体情况，为你提供专业、全面的法律建议。