事业单位在员工生病时，确实可以主动安排其休假，但这一行为需严格遵循相关法律法规，并确保员工的合法权益得到充分保障。以下是对此问题的详细分析：
一、医疗期内的安排
医疗期的定义：
- 医疗期是指员工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，而用人单位不得因此解除劳动合同的期限。这一期限根据员工的实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，一般给予三个月到二十四个月的医疗期。
医疗期内的权益保障：
- 在医疗期内，员工享有病假工资等福利待遇，且用人单位不得随意解除劳动合同。这是为了保障员工在生病期间的基本生活需求和医疗需求。
- 如果员工在医疗期内需要休假，事业单位应当根据其病情和医生的建议，合理安排休假时间，并确保病假工资等福利待遇的按时发放。
二、医疗期满后的处理
医疗期满后的工作安排：
- 当员工医疗期满后，若仍不能从事原工作，事业单位应当根据其身体状况和岗位需求，另行安排合适的工作。如果员工能够胜任新安排的工作，则继续履行劳动合同。
无法从事工作时的处理：
- 如果员工医疗期满后，既不能从事原工作，也不能从事由事业单位另行安排的工作，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，事业单位可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。
- 在解除劳动合同的同时，事业单位还需根据法律规定向员工支付经济补偿。经济补偿的具体标准按照员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。
三、特殊情况下的处理
严重违反规章制度：
- 即使员工处于病假期间，如果其严重违反了事业单位的规章制度（如通过不正当手段获取虚假证明来请长期病假），事业单位有权依据相关法律规定解除聘用合同。
符合聘用合同约定的解除条件：
- 如果事业单位与员工签订的聘用合同中有关于特定情形下可以解除合同的明确约定，并且这些约定不违反法律法规的强制性规定，当这些约定情形出现时，事业单位可以按照合同约定辞退员工。
四、法律建议
对于事业单位：
- 在处理员工生病休假问题时，事业单位应当严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到充分保障。
- 同时，事业单位也应完善内部管理制度，明确病假申请流程、医疗期管理以及辞退条件等，以避免因操作不当而引发法律纠纷。
对于员工：
- 员工在生病期间应如实提交病假申请材料，积极配合事业单位的管理。
- 如果员工认为事业单位的处理行为违反了相关法律法规或聘用合同的约定，可以依法维护自己的合法权益。
总结来说，事业单位在员工生病时可以主动安排其休假，但必须遵循相关法律法规和内部管理制度的规定。如果员工在医疗期满后仍无法从事工作，事业单位可以依法解除劳动合同并支付经济补偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。