结论前置：工作了三个月没签合同是不合法的，用人单位需承担相应法律责任。
详细分析：
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但尚未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。这意味着，用人单位在劳动者入职后一个月内必须与其签订书面劳动合同，否则即构成违法。
法律责任：
- 如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位应当向劳动者每月支付两倍的工资作为赔偿。这一双倍工资的支付期限从用工之日起满一个月的次日开始计算，直至补订书面劳动合同的前一日。因此，在你工作了三个月的情况下，从第二个月开始，你有权要求用人单位支付双倍的工资差额。
特殊情况：
- 需要注意的是，如果劳动者故意不与用人单位签订书面劳动合同，用人单位在此情况下有权及时书面通知劳动者终止劳动关系，并且无需向劳动者支付经济补偿。但这并不意味着用人单位可以逃避支付劳动者实际工作时间的劳动报酬的义务，这部分费用应当依法支付。不过，在你所描述的情况中，并未提及劳动者故意不签合同的情况，因此这一特殊情况不适用。
建议与操作指南：
友好协商：
- 首先，你可以尝试与用人单位进行友好协商，明确要求签订书面劳动合同，并支付之前未签订合同月份的双倍工资差额。通过沟通了解对方拖延的原因，并保留协商记录（如邮件、聊天记录）作为后续维权的证据。
收集证明材料：
- 若协商无果，你需要系统收集能证明劳动关系的证据，包括但不限于工资支付记录（银行流水/电子转账凭证）、工作证/服务证等身份文件、考勤记录（打卡截图/签到表复印件）、工作群聊记录及同事证言、派工单/任务分配文件等。这些证据将有助于你在后续的维权过程中证明自己的权益。
向劳动监察部门投诉：
- 携带证据材料向当地人力资源和社会保障局下属的劳动监察大队提交书面投诉，要求督促用人单位补签合同并纠正违法行为。劳动监察部门会对此进行调查，并根据调查结果采取相应的处理措施。
申请劳动仲裁：
- 如果投诉未能解决问题，你还可以选择申请劳动仲裁来进一步维护自己的权益。劳动仲裁机构会依法进行裁决，确保你的合法权益得到保障。在申请劳动仲裁时，你可以主张要求用人单位支付未签合同期间的双倍工资差额，以及因未签合同导致解除劳动关系时的经济补偿金（如果适用）。
提起诉讼：
- 对仲裁结果不满意时，你可在收到裁决书后15日内向人民法院提起诉讼，通过司法途径最终解决争议。
注意事项：
- 时效限制：劳动仲裁申请需在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提出，逾期可能丧失胜诉权。因此，你需要尽快采取行动来维护自己的权益。
- 持续取证：在维权过程中注意补充新证据，例如后续工资发放记录、催告签订劳动合同的书面通知等。这些证据将有助于你证明自己的权益并支持你的主张。
- 法律咨询：虽然我已经为你提供了详细的法律分析和建议，但复杂案件建议委托专业律师代理或通过法律援助机构获取免费法律支持。不过，在你目前的情况下，你可以先尝试按照上述建议自行维权。
综上所述，工作了三个月没签合同是不合法的，你有权要求用人单位支付双倍工资差额，并通过合法途径来维护自己的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。