当公司非法解除员工时，根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规，公司需要承担相应的赔偿责任。以下是对这一问题的详细解答：
一、赔偿标准
经济赔偿金：
- 公司若违反法律规定解除或终止劳动合同，应当依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
- 经济补偿的计算方式：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资的定义：指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若员工月工资高于公司所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
继续履行合同与补发工资：
- 如果员工不要求支付赔偿金，而是要求继续履行劳动合同的，公司应当继续履行。
- 在此期间，因公司违法解除劳动合同导致员工未能正常提供劳动的，公司应按照国家或当地规定的标准向员工支付工资及社保费用等损失。
其他损失赔偿：
- 若公司的违法行为给员工造成了其他直接经济损失（如未提前通知导致的搬迁费、交通费等），公司需根据实际损失进行赔偿。
二、特殊情况下的赔偿
- 未提前通知的额外补偿：虽然《劳动合同法》中并未直接规定非法辞退需支付“代通知金”，但如果公司未提前三十日以书面形式通知员工本人就解除劳动合同，且该解除被认定为非法，员工可主张相当于一个月工资的额外补偿（需注意这与合法解除中的代通知金性质不同）。
- 其他实际损失赔偿：若因非法辞退导致员工遭受其他实际损失（如未休年假的工资损失等），员工可依法主张相应赔偿。
三、赔偿程序
协商：
投诉：
- 若协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉，请求介入调查。
仲裁：
- 员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提出赔偿请求。仲裁委员会会根据双方提供的证据和陈述，作出裁决。
诉讼：
- 若对仲裁结果不满意，员工可以在规定时间内向人民法院提起诉讼。
四、注意事项
保留证据：
- 员工应妥善保存与公司的劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等证据，以便在维权时使用。
及时维权：
- 员工应在知道或应当知道自己的权益受到侵害之日起一年内提出仲裁申请，以免错过维权时效。
了解法律：
- 员工应了解相关法律法规，明确自己的权益和义务，以便更好地维护自己的合法权益。
综上所述，当公司非法解除员工时，员工有权要求公司支付经济赔偿金、继续履行合同或补发工资以及赔偿其他实际损失。在维权过程中，员工应保留好相关证据，及时通过协商、投诉、仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。