在没有结婚证且不做亲子鉴定的情况下，让孩子随父亲姓存在一定法律障碍，但可通过以下两种途径尝试解决：

1. 通过出生医学证明登记父亲信息
   根据《国务院办公厅关于解决无户口人员登记户口问题的意见》，若父母在孩子出生时未登记结婚，但父亲能提供与孩子的亲子关系凭证（如出生医学证明上已登记父亲信息），可凭以下材料申请随父落户并改姓：

   • 父母双方签署的《同意子女随父姓声明书》（需公证或按手印）；
     
   • 父亲身份证、户口本原件；
     
   • 出生医学证明（需已载明父亲信息）；
     
   • 母亲书面同意书（若母亲未到场）。
     关键点：若出生医学证明未登记父亲信息，则需通过亲子鉴定确认血缘关系，否则公安机关可能拒绝办理。

2. 通过法院诉讼确认亲子关系后改姓
   若父亲无法通过出生证明证明亲子关系，可向法院提起确认亲子关系之诉，需提供以下证据：

   • 父亲与母亲同居期间的证人证言、照片、视频等；
     
   • 父亲履行抚养义务的证据（如转账记录、购物凭证、共同生活证明等）；
     
   • 母亲书面认可亲子关系的声明（若有）。
     流程：法院判决确认亲子关系后，父亲可持判决书到公安机关申请孩子随父姓，此时无需额外做亲子鉴定。

风险提示：

• 若母亲拒绝配合（如不同意改姓或否认亲子关系），父亲需承担举证责任，否则可能败诉；
  
• 公安机关对户籍姓名变更审核严格，若材料不全可能要求补充亲子鉴定；
  
• 改姓后，母亲仍有权通过诉讼主张变更回原姓（需符合《民法典》第1015条关于姓名权的规定）。

建议：优先尝试与母亲协商签署书面同意文件，并补办出生医学证明登记父亲信息；若协商无果，再通过法律途径解决。如有具体证据材料或地区政策疑问，可进一步向我咨询。