结论：肇事者全责且欠医院费用不还，一般情况下不直接构成刑事犯罪，但可能涉及民事赔偿及可能的行政处罚；若存在故意逃避支付等特定情形，可能涉嫌拒不支付劳动报酬罪（此处为类比说明，实际需看是否符合该罪构成要件，一般医疗费用不直接适用此罪名，但可说明逃避支付义务的严重性）或其他相关犯罪，不过更常见的是通过民事诉讼途径解决。
详细分析：
刑事责任角度：
- 在交通事故中，肇事者全责主要涉及的是民事赔偿责任，即需要赔偿因事故给受害人（包括医院作为医疗服务的提供者，在受害人未支付费用时，可视为受害人的债权方）造成的损失。
- 单纯的不支付医院费用，并不直接构成刑事犯罪。但是，如果肇事者存在故意逃避支付、转移财产等行为，且情节严重，可能涉嫌拒不执行判决、裁定罪（如果已有民事判决要求其支付而拒不执行）或其他相关犯罪，但这需要具体证据和法律程序来认定。
- 需要注意的是，拒不支付劳动报酬罪主要适用于用人单位拖欠劳动者劳动报酬的情形，与交通事故中的医疗费用支付不直接相关，但可借此说明逃避支付义务在特定情境下可能构成的刑事犯罪。
民事责任角度：
- 肇事者作为全责方，有义务赔偿因事故造成的所有损失，包括医疗费用。如果肇事者不支付，医院或受害人可以通过民事诉讼途径来追讨。
- 在民事诉讼中，法院会判决肇事者支付相应的医疗费用。如果肇事者仍不履行判决，法院可以采取强制执行措施，如查封、扣押、拍卖财产等。
行政处罚角度：
- 如果肇事者存在无证驾驶、酒驾、逃逸等违法行为，除了民事赔偿外，还可能面临行政处罚，如罚款、吊销驾驶证、拘留等。
- 但这些行政处罚与不支付医院费用本身不直接相关，而是针对肇事者的违法行为。
建议：
- 对于医院或受害人来说，如果肇事者不支付医疗费用，首先应当通过民事诉讼途径来追讨。可以准备相关证据（如事故认定书、医疗费用单据等），向法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，可以申请法院采取财产保全措施，以确保肇事者的财产不会被转移或隐匿。
- 如果肇事者存在故意逃避支付等行为，且情节严重，可以向公安机关报案，由公安机关依法进行调查处理。但这种情况需要具体证据和法律程序来支持。
后续行动：
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